2020高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦定理余弦定理应用举例课时分层训练文新人教A版

2019年

【2019最新】精选高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第7节正弦

定理余弦定理应用举例课时分层训练文新人教A版

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )

【导学号：31222135】

图3-7-9

A．a km C.a km

B.a km D．2a km

B [在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°， ∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝a.]

2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )

图3-7-10

A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°

D [由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.]

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航

2019年

行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( ) 【导学号：31222136】

A．10海里 C．20海里

B．10海里 D．20海里

∠CAB＝30°，

A [如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠ACB＝45°，根据正弦定理得＝，

解得BC＝10(海里)．]

4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为 ( )

图3-7-11

A．8 km/h C．2 km/h

B．6 km/h D．10 km/h

B [设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得2＝2＋12－2××2×1×，解得v＝6.]

5．如图3-7-12，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ( )

图3-7-12

A．30° C．60°

B．45° D．75°

B [依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)， 又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得 cos∠CAD＝＝＝＝，

AC2＋AD2－CD2

2AC·AD

2019年

又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]

二、填空题

6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米．

【导学号：31222137】

16 [如图所示，设BD＝x m，

则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]

7．如图3-7-13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米. 【导学号：31222138】

图3-7-13

10 [在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．]

8．如图3-7-14所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．

图3-7-14

6

3

[由已知得∠ACB＝45°，∠B＝60°，

由正弦定理得＝， 所以AC＝＝＝10，

所以海轮航行的速度为＝(海里/分钟)．] 三、解答题

9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：

2019年

在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)

图3-7-15

[解] 在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°， ∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80.3分 在△ABC中，＝， ∴BC＝＝＝40.6分

在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos 60° ＝(80)2＋(40)2－2×80×40×＝9 600. ∴DC＝40，航模的速度v＝＝2米/秒. 12分

10．如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．

图3-7-16

(1)求渔船甲的速度； (2)求sin α的值．

[解] (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.3分 在△ABC中，由余弦定理，得

BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC

＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC＝28. 所以渔船甲的速度为＝14海里/小时.7分

(2)在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝，9分

即sin α＝＝＝.12分

B组 能力提升