解三角形的应用（教师版）

解三角形的应用(教师版)

1、正弦定理

abc

若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则：＝＝＝2R(R是△ABC外接圆半径)．

sinAsinBsinC

2、余弦定理

若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对边长，则：

(1)a2＝b2＋c2－2bccosA；(2)b2＝a2＋c2－2accosB；(3)c2＝a2＋b2－2abcosC.

3、仰角与俯角

在视线和水平线所成的锐角中，视线在水平线________的角叫仰角，在水平线________的角叫俯角．

4、方位角

指从正北方向________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α.

5、方向角

在航海中，由于南北方向比较便于测量，通常以南北方向作为标准方向，用北偏东若干度、北偏西若干度、南偏东若干度、南偏西若干度来表示方向．如图所示，如OA，OB，OC，OD 的方向角分别用北偏东_____，北偏西 ，南偏西 ，南偏东_____来表示．

6、解三角形应用题的一般步骤

(1)理解问题的实际背景，明确已知与所求，理清量与量之间的关系；

(2)若题目未给出示意图，则根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； (3)正确选择正弦定理、余弦定理、面积公式等进行问题求解；

(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算的要求． 上述步骤可用下图描述：

考向一 平面图形中的解三角形

例1 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的外接圆直径． 解：如图所示，连结BD，则有四边形ABCD的面积

11

S＝S△ABD＋S△CDB＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C.∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.

22

11∴S＝(AB·AD＋BC·CD)sin A＝(2×4＋6×4)sin A＝16sin A.

22

在△ABD中，由余弦定理得：BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A 22

＝2＋4－2×2×4cos A＝20－16cos A，在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcos C 22

＝6＋4－2×6×4cos C＝52－48 cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C，

1

∵cos C＝－cos A，∴64 cos A＝－32，cos A＝－，∴A＝120°，∴S＝16sin 120°＝83.

2

正弦定理和余弦定理是研究三角形的重要工具，在处理平面几何问题中有着广泛的应用．一些三角形

中重要线段的求解和重要定理的证明都离不开正、余弦定理的综合运用．

变式1 如图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．

解：设BD＝x，在△ABD中，由余弦定理有AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos ∠ADB，

2222

即14＝x＋10－20xcos 60°，∴x－10x－96＝0.∴x＝16(x＝－6舍去)，即BD＝16.在△

BCBD16sin 30°

BCD中，由正弦定理＝，∴BC＝＝82.

sin 135°sin ∠CDBsin ∠BCD

- 1 -

考向二 方向角问题

例2 一缉私艇发现在北偏东45°方向且距离12英里的海面上有一走私船正以10英里/小时的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为14英里/小时，若要在最短的时间内追上该走私船，缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追，求追及所需的时间和α角的正弦值．

解：设A，C分别表示缉私艇，走私船的位置，设经过x小时后在B处追上，则有AB＝14x，BC＝10x，∠ACB＝120°.∴(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，

20sin 120°5353∴x＝2，AB＝28，BC＝20，sin α＝＝.∴所需时间为2小时，sin α＝. 281414

解决方向角问题的关键是依据题意，画出恰当的示意图，将问题转化为三角形中的边和角问题，从而

可利用正弦定理和余弦定理进行求解．

变式2 某海轮以30英里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°方向，向北航行40min后到达B点，测得油井P在南偏东30°方向，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P，C间的距离． 解：如图，在△ABP中，AB=30×

40=20，∠APB=30°，∠BAP=120°，根据正弦定理60ABBP80?，得∴BP=203.在△BPC中，BC=30×=40，由已知∠PBC=90°，∴

sin?BPAsin?BAP6022PC?PB+BC?

?203?2+402?207(n mile)．答：P，C间的距离为207n mile. 考向三 仰角与俯角问题

例3 如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角为γ，求山高h.

解：在△ABP中，∠ABP＝180°－γ＋β，∠BPA＝180°－(α－β)－∠ABP＝180°－(α－β)－(180°－γ＋β)＝γ－α. APABAPa在△ABP中，根据正弦定理，＝，＝，AP

sin∠ABPsin∠BPAsin(180°－γ＋β)sin(γ－α)＝

在视线和水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角．在实际图

形中应注意仰角与俯角的转化。

变式3 如图所示，在山底测得山顶仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000米至S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，求山高BC； 解：∵∠SAB＝∠CAB－∠CAS＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－15°＝30°，

AS·sin 135°

∴∠ASB＝180°－30°－15°＝135°.在△ABS中，AB＝＝1 0002(米)．

sin 30°

2

∴BC＝AB·sin 45°＝1 0002×＝1 000(米)．

2

考向四 测量距离问题

例4—1 测定河的宽度，在一岸边选定两点A、B，使AB＝120 m，从A，B望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则河宽为________m. 解：∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝180°－∠CAB－∠CBA＝180°－30°－75°＝75°，

1

∴AC＝AB＝120 m.∴河宽CD＝AC＝60 m.

2

例4—2 如图，CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上的山体外取点A，B，并测得

π2

四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAD＝π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，则应开凿的隧道CD的长为__________．

33

ππ

解：在△ABC中，AB＝BC＝400米，∠ABC＝，∴AC＝AB＝400米，∠BAC＝，

33

2πππ

∴∠CAD＝∠BAD－∠BAC＝－＝.∴在△CAD中，由余弦定理得，CD2＝AC2＋AD2

333

1

－2AC·AD·cos∠CAD＝4002＋2502－2×400×250×＝122500，∴CD＝350(米)．

2

测量距离问题通常分为三种类型：两点间不可视、两点间可视但不可达、两点

都不可达．解决距离问题的方法是选择合适的辅助测量点、构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦定理、余弦定理等进行求解．

- 2 -

a×sin(γ－β)asin αsin(γ－β)

，所以山高为h＝APsin α＝. sin(γ－α)sin(γ－α)

变式4 要测量河对岸两个建筑物A、B之间的距离，选取相距3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离． 解：在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝3 km.

3sin75°6＋2在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，∴BC＝＝. sin60°2

在△ABC中，由余弦定理得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB ＝(3)2＋6＋226＋2()－23··cos75°＝5.∴AB＝5(km)．

22

考向五 测量高度问题

例5—1 如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m，速度为180 km/h，飞机先看到山顶的俯角为15°，经过420 s后又看到山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度． 解：如图，因为∠A＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°.又因为AB＝180 420BCAB000×＝21 000(m)，所以在△ABC中，有＝，

3 600sin Asin∠ACB

21 000BC＝·sin 15°＝10 500(6－2)(m)，又因为CD⊥AD，所以CD＝BCsin

122

∠CBD＝BCsin 45°＝10 500(6－2)·＝10 500(3－1)。所以求山顶的海

2

拔高度10 500(3－1)－10000＝10 5003＋500

例5—2 如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．

BCCD

解：在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理，得＝.

sin∠BDCsin∠CBD

CD·sin∠BDCs·sin βs·tan θsin β

∴BC＝＝在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.

sin∠CBDsin?α＋β?sin?α＋β?

与测量高度有关的实际应用题主要有两类：一类是与铅垂线有关的问题，解决这类问题的关键是勾画

出平面图形，再分析有关三角形中哪些边与角已知，要求高度，需要知道哪些边与角，其次要注意正弦定理、余弦定理以及解直角三角形的应用；另一类是立体问题，解决这类问题的关键是依据题意画好立体图形．

变式5—1 如右图所示，D，C，B在同一地平面的同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB等于( )． A．10 m B．53 m C．5(3－1)m D．5(3＋1)m

10·sin 135°解：在△ADC中，AD＝＝10(3＋1)(m)．在Rt △ABD中，AB＝AD·sin 30°

sin 15°＝5(3＋1)(m)．答案 D

变式5—2 如图所示，在某电视塔的正东方向的A处，测得塔顶仰角是60°，在电视塔的南偏西60°的B处，测得塔顶仰角为45°，A、B之间距离是35 m，则此电视塔的高度是________m.

解析：设塔高OC为h m，在△OAB中，OA＝由余弦定理，得352＝h2＋(

- 3 -

3

h，OB＝h，∠AOB＝150°. 3

323h)－2h×h×cos150°.解之得，h＝521. 33

基础达标

1、已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )．

A．10 km B．103 km C．105 km D．107 km 解：由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos ∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，

222

∠ABC＝120°，∴AC＝10＋20－2×10×20×cos 120°＝700.∴AC＝107(km)．

2、已知A船在灯塔C的北偏东80°方向上，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C的北偏西40°方向上，A，B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为__________ km. 解：如图，依题意知AC=2，AB=3，∠ACB=80°+40°=120°，由余弦定理知AB2=AC2+BC2－2·AC·BC·cos∠ACB，即9=4+BC2－2·2·BC·???，解得BC=6?1 km)．

3、有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长( )．

A．5 m B．10 m C．102 m D．103 m 解：设将坡底加长到B′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB′B＝30°，∠BAB′＝75°－30°

210×2ABsin 45°

＝45°，AB＝10 m.在△ABB′中，根据正弦定理得，BB′＝＝＝102(m)，

sin 30°1

2

即当坡底伸长102 m时，斜坡的倾斜角将变为30°.

能力提升

4、如图，A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C在水平面上的射影，求山高CD.

ABAD

解：在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由＝，得

sin15°sin45°

2800×2AB·sin45°

AD＝＝＝800(3＋1)(m)．∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，

sin15°6－2

4∴CD＝AD＝800(3＋1)m.即山高CD为800(3＋1)m.

5、如图所示，在四边形ABCD中，BC＝1，DC＝2，四个内角A、B、C、D的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB的长度．

解：如图，设四个内角A、B、C、D的大小分别为3x、7x、4x、10x(x＞0)， 由四边形内角和为360°可得，3x＋7x＋4x＋10x＝360°，∴x＝15°， 即A＝45°，B＝105°，C＝60°，D＝150°.连结BD，在△BCD中，由余弦定理得， 2222BD＝a＋(2a)－2·a·2a·cos60°＝3a，∴BD＝3a.

1

此时，CD2＝BC2＋BD2，且BC＝CD，∴△BCD为直角三角形，且∠BDC＝30°，

2

BD·sin∠ADBABBD

∴∠ADB＝150°－30°＝120°.在△ABD中，∵＝，∴AB＝

sinAsin∠ADBsinA

3asin120°32＝＝a.

sin45°2

6、海中有一小岛A，在它的周围15海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群自西向东航行，在B点测得小岛在北偏东60°，航行12海里后到达D点，又测得小岛在北偏东45°，如果渔船不改变方向继续前进，有无触礁的危险？ 解：如图，延长BD到C，使AC⊥BD，垂足为C，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠ADB

BDsin30°

＝135°，则∠BAD＝15°，又BD＝12，由正弦定理，得AD＝，在Rt△ADC

sin15°

中，AC＝AD·sin45°≈16.39>15，∴渔船不改变方向继续前进无触礁的危险．

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