第一章 绪论
一、教学目标及基本要求
通过对本章的学习，使学生对了解涉及工程和科学实验中常见的数学问题，其中包括线性方程组、函数插值、离散数据的拟合、微积分、微分方程等，这些问题是其他数学问题的基础。
二、教学内容及学时分配
本章主要介绍数值分析的研究对象及误差的概念。具体内容如下：
第1-2学时讲授内容：计算方法的研究内容、对象与特点；误差的基本概念。
三、教学重点难点
1．教学重点：误差、误差种类；误差分析：误差与有效数字的关系。 2. 教学难点：误差分析、误差与有效数字的关系。
四、教学中应注意的问题
多媒体课堂教学为主。适当提问，加深学生对概念的理解。
第1讲 绪论
基本求解步骤
实际问题 建立数学 模型 构造数值 算法 编程上机 计算结果
数学模型是通过科学实验或者观察分析一系列数据后，用数学作为工具近似地描述客观事物的一种数学表达式。在数学模型中，往往包含了若干参量，这些物理参数通常由实验仪器测得，根据仪器的精密程度，物理参数的确定也会产生一定的误差。
在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。
算法：从给定的已知量出发，经过有限次四则运算及规定的运算顺序，最后求出未知量的数值解，这样构成的完整计算步骤称为算法。
32计算多项式p(x)?3x?4x?2x?6的值。例1
算法1：由x计算出x2,x3后再进行计算。
需乘法5次，加法3次。
6
算法2：p(x)?x[x(3x?4)?2]?6
需乘法3次，加法3次。
一般地，计算n次多项式的值
Pn(x)?anxn?an?1xn?1?L?a1x?a0
?n?n?n?1?2k1?2?L如若按akx有k次乘法运算,计算Pn?x?共需次乘法和n次加
法运算。
采用：秦九韶算法(1247) 有递推公式: Pn(x)?x(x(xL(x(anx?an?1)?an?2?L?a1)?a0 从内往外一层一层计算，社vk表示第k层
vk?(...(anx?an?1)x?...?an?k?1)x?an?k
?vk?vk?1x?an?k ??v0?an需乘法n次，加法n次，存储单元n+3个。
开始 输入a0a1...an v?an,k?1 v?vx?an?k k=n Y N k?1?k 输出v 结束
对算法所要考虑的问题,包括如下:
计算速度
例如,求解一个20阶线性方程组,用消元法需3000次乘法运算；而用克莱姆法则要进行
9.7?1020次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。
7
存储量
大型问题必要考虑计算机的数据存贮。
数值稳定性
在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与算法有关。 实际算法往往表现为某种无穷递推过程 算法的精度控制
方程根的二分法求解
f(x)在[a,b]上单调连续，f(a)f(b)?0，根据连续函数性质，f(x)在[a,b]内一定有实的零点，即方程f(x)?0在[a,b]内一定有唯一实根。假定实根为x*x0?a?b 2若f(x0)?0，则x0为所求根
否则若f(a)f(x0)?0,则根在区间[a,x0]，取a1?a,b1?x0 若f(b)f(x0)?0,则根在区间[x0,b]，取a1?x0,b1?b
[a,b]?[a1,b1]?...?[ak,bk]?...
每一区间为前一区间的一半，有根区间[ak,bk]长度bk?ak?1(b?a) 2kx*?xk?11(bk?ak)?k?1(b?a) 22§1.2 预备知识和误差
(1) 误差的来源
实际问题?建立数学模型?研究计算方法?编程上机计算解结果。
模型误差: 在建立数学模型过程中,不可能将所有因素均考虑,必然要进行必要的简化,这就带来了与实际问题的误差。
测量误差: 测量已知参数时,数据带来的误差。
截断误差: 模型的准确解与某种数值方法的准确解之间的误差称为截断误差或方法误差。 舍入误差: 计算机的字长是有限的,每一步运算均需四舍五入,由此产出的误差称舍入误差。如：π、1／3，……取小数点8位、16位。 [截断误差的实例]
已知ex?1?x?12131nx?x?L?x?L,2!3!n!求e?1的近似值，并估计误差。
解：利用展开式的前三项，取n=2，
e?1?1?(?1)?1(?1)2?0.52
由Taylor公式： f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?Lf(n)(x0)f(n?1)(?)n?(x?x0)?(x?x0)n?1n!(n?1)!
8
xn?1Rn(x)?e?x,(n?1)!
0???1
R2?e?1?0.5?[舍入误差的实例]
1?1.7*10?13!截断误差为：0.17
1.492?1.066?1.590472，设在一台虚构的4位数字的计算机上计算
1.492?1.066?1.590，舍入误差为 0.000472。
数值计算方法主要讨论截断误差和舍入误差的影响,不讨论模型误差和测量误差。 三、误差的基本概念 (1) 误差与误差限
**误差不可避免，设以x代表数x的近似值，称e?x?x是近似值x的绝对误差。简称误
差。误差是有量纲的,可正可负。
误差通常是无法计算的,但可以估计出它的一个上界。即
x?x*??称
?是近似值x的误差限，或称精度，即
x*???x?x*??。
(2) 相对误差与相对误差限
ex*?x?x为近似值x的相对误差,记作er。相对绝对误差并不能完全反应精度，称x误差是个相对数,是无量纲的,也可正可负。
e相对误差的估计rx*?xx???r,称
?r为相对误差限,即
?x??r。
1?10?n的误差限是2(某一数位的半个单位),则称x(3) 有效数字 定义: 如果近似值x准确到小数点后n
位,并从第一个非零的数字到这一位的所有数字均为有效数字。
如：π＝3.1415926535,
3.14有三位有效数字,误差限ε=0.005;
3.1416有五位有效数字,误差限为0.00005。 (4) 有效数字与误差限的关系：
x有n位有效数字，标准形式为x??10m?0.a1a2...an 其中ai(i=1,2,…)是0~9之间的
*整数,且a1?0,如果误差x?x?1?10m?l,1?l?n，称x为x*的具有l位有效数值的2近似值.
(5)有效数字与相对误差的关系：
9
*m标准形式为x??10?0.a1a2...an，则：
*|x?x|1a)若x有n位有效数字，则??101?n *|x|2a1*11m?nm?n?10?10|x?x|211?n2证： ????10*m?1xa1?10|x*|2a1*
|x?x*|1若??101?n**|x|2(a1?1)b)，则x有n位有效数字
证：x?x*?111?101?n?x*??101?n?(a1?1)?10m?1??10m?n
2(a1?1)2(a1?1)2例，已知??3.14159265试问其近似值x1?3.1,x2?3.14,x3?3.1415,x3?3.1416...，各有几位有效数字？并给出它们的误差限和相对误差限。
e1???x1?0.04?1?10?1，十分位以前都是有效数字，有两位有效数字 2e1r???x1x1?11?101?2??10?1 2?361?10?2有三位有效数字 2e2???x2?0.002?e2r???x2x2?11?101?3??10?2 2?361?10?3，有四位有效数字 2e3???x3?0.00009?e3r???x3x3?11?101?4??10?3 2?361?10?4，有五位有效数字 2e4???x4?0.00001?e4r???x4x4*
?11?101?5??10?4 2?36例：为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？ 解：
εr*?1?10?n?1?0.001*1*
n?6?log6,即n?6,取n?6，则π=3.14159
10
相关推荐：
loading