湖北省
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阳五中八校
2019届高三第二次联考
数学(理科)试题
命题学校：孝感高中 命题人：王亚 武娟 蒋志方 彭西骏 审题学校：荆州中学 审题人：冯钢 陈静 监 制：全品大联考·武汉全品教育科技有限公司 考试时间：2019年3月27日星期三下午3:00~5:00
第I卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的) 1.已知复数z?2i,则z的共轭复数在复平面内对应的点在 1?i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合P?{xy??x2?x?2,Q?{xlnx＜1},则P?Q? A.(0,2] B.[-2,e) C.(0,1] D.(1,e)
3.空气质量指数AQI是反映空气状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表：
AQI指数 空气质量
下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是
0-50 优 51-100 良 101-150 轻度污染 151-200 中度污染 201-300 重度污染 ＞300 严重污染 1 / 10
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100 B. 这20天中的中度污染及以上的天数占1/4 C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
4.若等差数列{an}的公差为-2,a5是a2与a6的等比中项,则该数列的前n项和Sn取得最大值时,n的值等于 A.4 B.5 C.6 D.7
5.将5个人从左至右排成一行,最左端只能排成甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有 A.36种 B.42种 C.48种 D.60种
6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,且AE?ED,若EB??AB?uAC,则 A.-3 B.-?? u11 C.3 D. 337.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”,三国时期吴国的数学家赵爽创制了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如下图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角??域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是 A.1-?6，现在向该正方形区
334-33 B. C. D. 22448.函数f(x)?2cosx(sinx?cosx)(x?[??2,0])的最大值为
A.1-2 B.1 C.2 D.1?2
9.已知抛物线y?2px(p＞0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若直
2线l的倾斜角为
AF2?,则? 3BF A.
1212 B. C. D. 35232 / 10
10.如图,某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A.22 B.10 C.23 D.13
x2y211.已知双曲线2?2?1(a,b＞0)的左、右顶点分别为A,B,右焦点为F,过点F且垂直于x轴的直线
abl交双曲线于M,N2点,P为直线l上的一点，当?APB的外接圆面积达到最小值时,点P恰好在M(或N)
处,则双曲线的离心率为
A.2 B.3 C.2 D.5
?12x?1,x?0?12.已知函数f(x)??2,若函数g(x)?f(x)?kx有且只有2个零点,则实数k的取值范
???2ln(1?x),x＜0围为
11
A.(0,2) B.(0,) C.(2,+?) D.(,2) 22
第II卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在答题卡)
?x?2?13. 若x,y满足?y?2x,则x?2y的最小值为_____.
?x?y?3?14. 已知函数f(x)?x?(a?1)x?3ax?1,若f(x)在x?1处取得极值,则曲线y?f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为____.
15. 已知数列{an}满足an=2an-1+2-1(n∈N*,n≥2),若a4=65,则a1=____.
n32b22b216. 设?(a,b)?(a?b)?(lna?)?(a＞0,b?R),当a,b变化时?(a,b)的最小值为_____.
442三、解答题(本大题分为必考题和选做题两部分共70分)
17．(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c，且向量m=(2a-c,b)与向量n=(cosC,cosB)共线。
3 / 10
（1）求B；
（2）若b?37,a?3,且AD?2DC,求BD的长度. 18．(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,
∠
ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=1，AD=2，CD=3.
（Ⅰ）求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若M是棱PC上的一点,且满足PM?3MC,求二面角M-BQ-C的大小.
x2y2119. （12分）已知椭圆C：2?2?1(a＞b＞0)的离心率为,左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上短轴
ab2的一个端点与两个焦点构成三角形的面积为3。 （1）求椭圆C的方程；
（2）过F1作垂直于x轴的直线l交椭圆C于A,B两点(点A在第二象限),M,N是椭圆上位于直线l两侧的动点,若?MAB??NAB,求证：直线MN的斜率为定值.
20. (12分)红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值。 平均温度x/℃ 平均产卵数y/个
21 23 25 27 29 32 35 7 11 21 24 66 115 325 x y z ?(x?x)(zii?1ni?z) ?(x?x)ii?1n2 27.429 81.286 3.612 40.182 147.714 17表中zi?lny,z??zi
7（1）根据散点图判断,y?a?bx与y?ce(其中e=2.718···为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
dx4 / 10
（2）根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p(0＜p＜1).
（i）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为f(p)，求f(p)的最大值，并求出相应的概率p0.
（ii）当f(p)取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.
(x7,z7)，附：对于一组数据(x1,z1),(x2,z2),贩?其回归直线z?a?bx想斜率和截距的最小二乘法估计分
别为：b??(x?x)(zii?17ii?17i?z)2?(x?x)???,a?z?bx. ?21. （12分）已知函数f(x)?（1）讨论f(x)的单调性；
1?x?2alnx. x（2）设g(x)?lnx?bx?cx，若函数f(x)的两个极值点x1,x2(x1＜x2)恰为函数g(x)的两个零点,且
2y?(x1?x2)g?(x1?x22)的范围是[ln2?,??),求实数a的取值范围。 23（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 22. 【选修4——4：坐标系与参数方程】(10分)
1?x??t?2?在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:?(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半
?y?1?3t?2?轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为??4cos(?-（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设点M的极坐标为(1,?6).
?2)，直线l与曲线C的交点A,B，求MA?MB的值。
23. 【选修4——5：不等式选讲】(10分)
已知f(x)?x?1?ax?1。
（1）当a?1时，求不等式f(x)?4的解集；
（2）若x?(0,1)时，不等式f(x)＜x?2恒成立，求实数a的取值范围。
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