A．点H是△A1BD的垂心 B．AH⊥平面CB1D1 C．AH的延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成的角为45°
解析：因为AH⊥平面A1BD，BD平面A1BD， 所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A， 所以BD⊥平面AA1H.又A1H平面AA1H.
所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D， 所以点H是△A1BD的垂心，A正确． 因为平面A1BD∥平面CB1D1， 所以AH⊥平面CB1D1，B正确．
易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合．故C正确．
因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角． 因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误． 答案：D
9
12．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形．若
4P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( )
A.5π 12
πB. 3πD. 6
πC. 4
5
解析：如图所示，P为正三角形A1B1C1的中心，设O为△ABC的中心，由题意知：PO⊥平面ABC，连接OA，则∠PAO即为PA与平面ABC所成的角．
在正三角形ABC中，AB＝BC＝AC＝3， 则S＝
3332×(3)＝， 44
9
VABC－A1B1C1＝S×PO＝，∴PO＝3.
4又AO＝3
×3＝1， 3
POπ
∴tan∠PAO＝＝3，∴∠PAO＝.
AO3答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是________． 解析：
如图，∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD.
∵PC⊥BD，∴BD⊥平面PAC. ∴AC⊥BD. 答案：菱形
6
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．
解析：∵B1C1⊥平面A1ABB1，MN平面A1ABB1，∴B1C1⊥MN， 又∠B1MN为直角， ∴B1M⊥MN而B1M∩B1C1＝B1.
∴MN⊥平面MB1C1，又MC1平面MB1C1， ∴MN⊥MC1，∴∠C1MN＝90°. 答案：90°
15．如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．则异面直线SA与PD所成角的正切值为________．
?题图? ?答图?
SA
解析：连接PO，则PO∥SA，PO＝＝2，
2∴∠OPD即为异面直线SA与PD所成的角， 且△OPD为直角三角形，∠POD为直角， OD2
∴tan∠OPD＝＝＝2.
OP2答案：2
7
16．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，给出下列四个结论： ①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变； ③P在直线BC1上运动时，二面角P－AD1－C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点运动的路线是过D1点的直线． 其中正确结论的编号是________(写出所有真命题的编号)．
解析：因为BC1∥AD1，所以BC1∥平面ACD1，BC1上任意一点到平面ACD1的距离为定值，所以VA－D1PC＝VP－ACD1为定值，①正确；因为P到平面ACD1的距离不变，但AP的长度在变化，所以AP与平面ACD1所成角的大小是变量，②错误；平面PAD1即平面ABC1D1，又平面ABC1D1与平面ACD1所成二面角的大小不变，故③正确；M点运动的路线为A1D1，④正确．
答案：①③④
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共40分)
17．(10分)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP； (2)求证：四边形DEFG为矩形．
证明：(1)因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC. 又DE平面BCP，所以DE∥平面BCP.
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