人教A版高中数学选修1—1《双曲线及其标准方程》教学设计

《双曲线及其标准方程》教案

教材：人教Ａ版高中数学选修1—1 和平县福和高级中学 张建华

教学目标 1、知识目标

双曲线的定义；双曲线标准方程的推导、特点及其求法。 2、能力目标

①通过自主探索双曲线的定义与方程，提高动手能力和类比推理能力； ②掌握双曲线的标准方程、曲线的图形特征、能确定焦点的位置；

③通过求双曲线的标准方程，进一步体验分类讨论、数形结合的的数学思想。 3、情感目标

①通过交流探索活动，使学生拥有互相合作的风格，勇于探究，积极思考的学习精神；

②在教学中体会数学知识的和谐美，几何图形的对称美。 教学重点与难点

教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程 教学难点：推导双曲线的标准方程 课前准备 多媒体辅助课件 教学过程

一、复习回顾，引领学法

1、椭圆定义：平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。

x2y22、标准方程：焦点在x轴上时：2?2?1；(其中a?b?0)

aby2x2焦点在y轴上时：2?2?1。(其中a?b?0)

ab3、定义中2a与2c的大小关系如何?

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?2a?2c?0时是椭圆??2a?2c?0时是圆??2a?2c?0时是线段F1F2?2a?2c时轨迹不存在?4、椭圆标准方程中字母 a、 b 、c的关系如何? (a2?b2?c2)

引入问题：如果将椭圆定义中的“和”改为“差”，即平面内到两定点F1F2的距

离的差等于常数的点的轨迹是什么？ 二、探求轨迹，概括定义

利用《几何画板》画轨迹：

1、议一议 (1)哪些点在变？ (2)哪些点没变？

(3)动点与定点所满足的关系是什么？ 若点M在右支，则有|MF1|-|MF2|=2a ① 若点M在左支，则|MF1|-|MF2|=－2a ②

利用绝对值由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值） 上面两条曲线合起来叫做双曲线,每一条叫做双曲线的一支。 2、读一读

双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

数学简记：|MF1|?|MF2|??2a（0?2a?2c?|F1F2|） 3、想一想

（1）若2a=0,则动点M轨迹是什么？(线段F1F2的垂直平分线) （2）若2a>2c,则动点M轨迹是什么？(不表示任何轨迹) （3）若2a=2c,则动点M轨迹是什么？(两条射线) 三、类比联想，推导方程

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设︱F1F2︱=2c(c>0)如何根据定义探究双曲线的方程？ 1、建系

以两定点F1，F2所在直线为x轴，其中点Ｏ为原点，建立直角坐标系xOy。 2、设点

设M(x,y)为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c(c?0)，则

F1(?c,0)，F2(c,0)。

3、列式

由定义可知，双曲线就是集合：P??MMF1?MF2?2a? ∵MF1?(x?c)2?y2,MF2?(x?c)2?y2

∴(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a 4、化简

由(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a

?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?2a

?(x?c)2?y2?(x?c)2?y2?4a(x?c)2?y2?4a2 ?cx?a2??a(x?c)2?y2

?(cx?a2)2?a2[(x?c)2?y2] ?(c2?a2)x2?a2y2?a2(c2?a2)，

x2y2令c?a?b（b?0），得bx?ay?ab，即2?2?1．

ab222222222猜一猜：以两定点F1，F2所在直线为y轴，其中点Ｏ为原点，建立直角坐标系xOy，推出的方程又是怎样的呢？ 四、对比总结，形成结构

1、双曲线的标准方程 方程形式 焦点位置 数量特征

x2y2??1 a2b2y2x2??1 a2b2焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦点的中点在原点（中心在原点） c2?a2?b2（a,b,c?0）(谁正谁对应a) 3

2、椭圆的标准方程与双曲线的标准方程 定 义 椭 圆 |MF1|+|MF2|=2a 双曲线 ||MF1|－|MF2||=2a 方 程 yx a?b?0)??1(22ab 22x2y2 ?2?1( a?b?0)2abx2y2??1(a?0,b?0)a2b2y2x2?2?1(a?0,b?0)2abF（±c，0） F（0，±c） a>0，b>0，但a不一定大于b，焦 点 a.b.c的关系 F（±c，0） F（0，±c） a>b>0，a2?b2?c2 c2?a2?b2 3、做一做 (1)、快速反应。

x2y2①2?2?1则a=______，b=______； 46x2y2??1则a=______，b=______。 ②74 (2)、判定下列双曲线的焦点在什么轴上，写出焦点坐标．

x2y2x2y2x2y2???1 ④4y2?9x2?36 ??1 ②??1 ③①

424222想一想：如何判断焦点所在的位置？

总结:判断双曲线标准方程的焦点在哪个轴上的准则：

x2与y2前的系数，哪一个为正，则焦点在哪一个轴上。

即:椭圆看大小，双曲线看符号 。 五、例题讲解，形成技能

例1、已知双曲线上一点P到两焦点F1(?5,0)、F2(5,0)的距离的差的绝对值为6，求双曲线的方程。

x2y2解：设双曲线的标准方程为2?2?1（a?0,b?0）．

abx2y2∵c?5，2a?6，又c?a?b ?a?3，b?4．∴??1．

916222x2y2?1(x?0)) 变式①：若|PF1|?|PF2|?6，则点P的轨迹是什么呢？(?916 4