换底公式四
一．课题：对数（4）——换底公式
二．教学目标：1. 要求学生会推导并掌握对数的换底公式；
2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。
三．教学重、难点：1．会推导并掌握对数的换底公式；
2．能运用对数的换底公式解决有关的化简、求值、证明问题。
四．教学过程：
（一）复习：对数的运算法则。
导入新课：对数的运算性质的前提条件是“同底”，如果底不同怎么办？ （二）新课讲解： 1．换底公式：logaN?logmN ( a > 0 , a 1 ；m?0,m?1)
logmax证明：设logaN?x，则a?N，
x 两边取以m为底的对数得：logma?logmN，∴xlogma?logmN，
从而得：x?logmNlogmN ， ∴ logaN?．
logmalogma说明：两个较为常用的推论：
（1）logab?logba?1 ； （2）logamb?证明：（1） logab?logba?nn． logab （a、b?0且均不为1）
mlgblga??1； lgalgblgbnnlgbn??logab． （2） logamb?mlgamlgamn2．例题分析：
例1．计算：（1） 5解：（1）原式 =
1?log0.23； （2）log43?log92?log2432．
5?15； 1log0.231log55533115153 （2） 原式 = log23?log32?log22???．
224442??b55例2．已知log189?a，18?5，求log3645（用 a, b 表示）． 解：∵log189?a， ∴log18∴log182?1?a， 又∵18?5，
b18?1?log182?a， 2∴log185?b， ∴log3645?log1845log189?log185a?b??．
log18361?log1822?az例3．设3?4?6?t?1 ，求证：
xy111??． zx2y证明：∵3?4?6?t?1， ∴ x?xyzlgtlgtlgt，y?，z?， lg3lg4lg611lg6lg3lg2lg41??????． zxlgtlgtlgt2lgt2y ∴
例4．若log83?p，log35?q，求lg5． 解：∵log83?p，
∴log23?3p?lg3?3plg2?3p(1?lg5)， 又∵ log35?lg5?q， lg3∴ lg5?qlg3?3pq(1?lg5)， ∴ (1?3pq)lg5?3pq
∴ lg5?3pq．
1?3pq4例5．（备用）计算：(log43?log83)(log32?log92)?log125432．
解：原式?(log223?log233)(log32?log322)?log12
21115log23)(log32?log32)?
2324535555 ?log23?log32????．
624442 ?(log23?例6．（备用）若 log34?log48?log8m?log42，求m． 解：由题意可得：
lg4lg8lgm1???， lg3lg4lg82 ∴lgm?∴m?1lg3， 23．
五．小结：换底公式及其推论。
六．作业：补充：
1．求下列各式的值：
（1） log93?5?3?56； （2）251log65?491log87；
（3）(log25?log40.2)(log52?log250.5)；
（4）log9632(log23?log49?log827?log1681?log32243)． 2．已知 2lg(3x?2)?lgx?lg(3x?2)， 求 log3．已知lg5?m，lg3?n，用m,n表示log308． 4．已知 logx222 的值。
2?31?a ， 求log123． a111???0 ，求证：abc?1． xyz5．设a,b,c为不等于1的正数，若 ax?by?cz 且
log32?122． 20?(lg2)?3106．求值：lg5?log．求值7：2
log23?log(2?2?lg2． (7?43)?103)
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