83232x－?2＋≥， ＝3x2－16x＋32＝3??3?3384
当x＝，y＝时等号成立．
33
A组 专题通关
1．(2018·全国Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b恒成立，求a＋b的最小值．
－3x，x<－，?2
?
1解 (1)f(x)＝?x＋2，－≤x<1，2
??3x，x≥1.y＝f(x)的图象如图所示．
1
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值为5. 2．(2018·全国Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集； (2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
2x＋4，x≤－1，??
解 (1)当a＝1时，f(x)＝?2，－1 ??－2x＋6，x>2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}． (2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4. 而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，当且仅当x＋a与2－x同号时等号成立． 故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4. 由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2. 所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)． 3．(2018·江西省景德镇市第一中学模拟)已知函数f(x)＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R. (1)解不等式f(x)≤9； (2)若方程f(x)＝－x2＋a在区间[0,2]上有解，求实数a的取值范围． 解 (1)f(x)≤9，即|2x－4|＋|x＋1|≤9， ????x>2，?－1≤x≤2，?x<－1，??即或或? ?3x－3≤9??－3x＋3≤9，??5－x≤9? 解得2 由题意知，f(x)＝－x2＋a，即a＝x2－x＋5，x∈[0,2]， 故方程f(x)＝－x2＋a在区间[0,2]上有解，即函数y＝a和函数y＝x2－x＋5的图象在区间[0,2]上有交点， 19?∵当x∈[0,2]时，y＝x2－x＋5∈??4，7?， 19?∴a∈??4，7?. 4．(2018·百校联盟TOP20联考)已知f(x)＝|2x＋a|－|x－2|. (1)当a＝－2时，求不等式f(x)≤4的解集； (2)若关于x的不等式f(x)≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围． 解 (1)当a＝－2时，由f(x)≤4， 得2|x－1|－|x－2|≤4， 当x≤1时，由2(1－x)－(2－x)≤4，得－4≤x≤1； 当1 即关于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立， 而|2x＋a|＋|2x－4|≥|(2x＋a)－(2x－4)|＝|a＋4|， 当且仅当(2x＋a)(2x－4)≤0时等号成立， 所以|a＋4|≥3a2， 解得a＋4≥3a2或a＋4≤－3a2， 4 解得－1≤a≤或a∈?. 34－1，?. 所以a的取值范围是?3?? 5．(2018·上饶模拟)已知函数f(x)＝|2x＋1|. (1)求不等式f(x)≤8－|x－3|的解集； (2)若正数m，n满足m＋3n＝mn，求证：f(m)＋f(－3n)≥24. 1??x<－2，(1)解 此不等式等价于? ??－2x－1＋?3－x?≤81???－2≤x≤3，?x>3， 或?或? ?2x＋1＋x－3≤8，???2x＋1＋?3－x?≤8 10－2，?. 即不等式的解集为?3??(2)证明 ∵m>0，n>0，m＋3n＝mn， 11?m＋3n?2 ∴m＋3n＝(m·3n)≤×， 334即m＋3n≥12， ?m＝3n，? 当且仅当? ?m＋3n＝mn，???m＝6， 即?时取等号， ?n＝2? ∴f(m)＋f(－3n)＝|2m＋1|＋|－6n＋1| ≥|2m＋6n|， 1 当且仅当(2m＋1)(－6n＋1)≤0，即n≥时取等号， 6又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时，取等号， ∴f(m)＋f(－3n)≥24. B组 能力提高 6．(2018·榆林模拟)已知函数f(x)＝|3x－1|－|2x＋1|＋a. (1)求不等式f(x)>a的解集； (2)若恰好存在4个不同的整数n，使得f(n)<0，求a的取值范围． 解 (1)由f(x)>a，得|3x－1|>|2x＋1|， 不等式两边同时平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1， 即5x2>10x，解得x<0或x>2. 所以不等式f(x)>a的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)设g(x)＝|3x－1|－|2x＋1| ??11＝?－5x，－2 12－x，x≤－， 2 作出函数g(x)的图象，如图所示， 因为g(0)＝g(2)＝0，g(3) ???f?3?<0，?1＋a<0，?所以即? ?f?4?≥0，???2＋a≥0， 故a的取值范围为[－2，－1). 7．(2018·百校联盟TOP20联考)已知函数f(x)＝x2＋|x－2|. (1)解不等式f(x)>2|x|； 72(2)若f(x)≥a2＋2b2＋3c2(a>0，b>0，c>0)对任意x∈R恒成立，求证：ab·c<. 32(1)解 由f(x)>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|， ???x≥2，?0 解得x>2或0 所以不等式f(x)>2|x|的解集为(－∞，1)∪(2，＋∞)． (2)证明 当x≥2时，f(x)＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4； 177 x－?2＋≥， 当x<2时，f(x)＝x2－x＋2＝??2?447 所以f(x)的最小值为. 4
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