【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23．（12分）（2017?长宁区二模）如图，在△ABC 中，点P是AC边上的一点，过点P作与BC平行的直线PQ，交AB于点Q，点D在线段 BC上，联接AD交线段PQ于点E，且于点F．
（1）求证：PC=PE；
（2）当P是边AC的中点时，求证：四边形AECF是矩形．
=
，点G在BC延长线上，∠ACG的平分线交直线PQ
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LC：矩形的判定． 【分析】（1）根据相似三角形的性质得到
=
，
，等量代换得到
=
，推出
=
，于是得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠PFC=∠FCG，根据角平分线的性质得到∠PCF=∠FCG，等量代换得到∠PFC=∠FCG，根据等腰三角形的性质得到PF=PC，得到PF=PE，由已知条件得到AP=CP，推出四边形AECF是平行四边形，于是得到结论． 【解答】（1）证明：∵PQ∥BC， ∴△AQE∽△ABD，△AEP∽△ADC， ∴∴
==
，，
，
∵∴
==
， ，
∴PC=PE；
（2）∵PF∥DG， ∴∠PFC=∠FCG， ∵CF平分∠PCG， ∴∠PCF=∠FCG， ∴∠PFC=∠FCG， ∴PF=PC， ∴PF=PE，
∵P是边AC的中点， ∴AP=CP，
∴四边形AECF是平行四边形， ∵PQ∥CD， ∴∠PEC=∠DCE， ∴∠PCE=∠DCE，
∴∠PCE+∠PCF=（∠PCD+∠PCG）=90°， ∴∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．
24．（12分）（2017?长宁区二模）已知△OAB在直角坐标系中的位置如图，点A在第一象限，点B在x轴正半轴上，OA=OB=6，∠AOB=30°． （1）求点A、B的坐标；
（2）开口向上的抛物线经过原点O和点B，设其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形时，求抛物线的解析式； （3）设半径为2的⊙P与直线OA交于M、N两点，已知MN=2
，P（m，2）（m＞0），求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得AC的长，再根据锐角三角函数，可得OC，根据点的坐标，可得答案；
（2）根据等腰直角三角形，可得E点坐标，再根据待定系数法，可得答案；
（3）根据30°的角所对的直角边是斜边的一半，可得∠CNP=30°，再根据勾股定理OE的长，根据点的坐标，可得N点坐标，根据点的左右平移，可得P点坐标．
【解答】解：（1）如图1，
作 AC⊥OB于C点，
由OB=OA=6，得B点坐标为（6，0）， 由OB=OA=6，∠AOB=30°，得 AC=OA=3，OC=OA?cos∠AOC=∴A点坐标为（3
，3）；
OA=3
，
（2）如图2，
由其顶点为E，当△OBE为等腰直角三角形，得 OC=BC=CE=OB=3，
即E点坐标为（3，﹣3）．
设抛物线的解析式为y=a（x﹣3）﹣3，将B点坐标代入，解得 a=，
抛物线的解析式为y=（x﹣3）﹣3 化简得y=x2﹣2x；
22
（3）如图3，
PN=2，CN=，PC=1，
∠CNP=∠AOB=30°， NP∥OB， NE=2，得ON=4， 由勾股定理，得 OE=
=2
，即N（2
，2）．
N向右平移2个单位得P（2N向左平移2个单位，得P（2m的值为2
+2或2
﹣2．
+2，2）， ﹣2，2），
【点评】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用直角三角形的性质得出AC的长，又利用了锐角三角函数；解（2）的关键是利用等腰直角三角形得出E点的坐标，又利用了待定系数法；解（3）的关键是利用直角三角形的性质得出∠CNP=∠AOB=30°，又利用了勾股定理得出OE的长，要分类讨论：N左右平移得P点，以防遗漏．
25．（14分）（2017?长宁区二模）如图，△ABC的边AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，已知AC=6cm，BC=8cm，点P、Q分别在边AB、BC上，且点P不与点A、B重合，BQ=k?AP（k＞0），联接PC、PQ． （1）求⊙O的半径长；
（2）当k=2时，设AP=x，△CPQ的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△CPQ与△ABC相似，且∠ACB=∠CPQ，求k的值．
【考点】MR：圆的综合题．
【分析】（1）首先证明∠ACB=90°，然后利用勾股定理即可解决问题． （2）如图2中，作PH⊥BC于H．由PH∥AC，推出计算即可．
（3）因为△CPQ与△ABC相似，∠CPQ=∠ACB=90°，又因为∠CQP＞∠B，所以只有∠PCB=∠B，推出PC=PB，由∠B+∠A=90°，∠ACP+∠PCB=90°，推出∠A=∠ACP，推出PA=PC=PB=5，由△COQ∽△BCA，推出即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AB是直径， ∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8， ∴AB=
=
=10，
=
，推出=
，
=
，推出
=
，推出PH=（10﹣x），根据y=?CQ?PH
∴⊙O的半径为5．
（2）如图2中，作PH⊥BC于H．
∵PH∥AC， ∴∴
==
， ，
∴PH=（10﹣x），
∴y=?CQ?PH=?（8﹣2x）?（10﹣x）=x2﹣
x+24（0＜x＜4）．
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