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§2.5 等比数列的前n项和(一)
1．掌握等比数列前n项和公式的推导方法．
2．会用等比数列前n项和公式解决一些简单问题．
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课时标
目
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1．等比数列前n项和公式：
a11－qa1－anq??＝
1－q(1)公式：Sn＝?1－q??na1 q＝1
nq≠1
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(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．
2．若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝(1－q)＝A(q－1)．其中
1－qa1
nna1
A＝. q－1
3．推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．
一、选择题
1．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则等于( ) A．11 B．5 C．－8 D．－11 答案 D
4
解析 由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q＝0，
S5a11＋25
∴q＝－2，则＝＝－11.
S2a11－22
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则A．－3 B．5 C．－31 D．33 答案 D
a11－q6
1－qS6
解析 由题意知公比q≠1，＝ S3a11－q31－q3
＝1＋q＝9，
S5S2
S10
等于( ) S5
.
.
a11－q10
1－qS105
∴q＝2，＝＝1＋q 5
S5a11－q1－q＝1＋2＝33.
3．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则等于( ) A．2 B．4 1517C. D. 22答案 C
解析 方法一 由等比数列的定义，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋a2＋a2q＋a2q，
5
S4a2
a2q2
S41152
得＝＋1＋q＋q＝. a2q2
a11－q4
方法二 S4＝，a2＝a1q，
1－q4
S41－q15∴＝＝. a21－qq2
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
1531A. B. 243317C. D. 42答案 B
解析 ∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，
2
∴设{an}的公比为q，则q>0，且a3＝1，即a3＝1.
11
∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝2＋＋1＝7，
qq即6q－q－1＝0.
11
故q＝或q＝－(舍去)，
231
∴a1＝2＝4.
2
q11－5
2131
＝8(1－5)＝. 1241－2
n5．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3＋k，则实数k的值为( )
A．0 B．1 C．－1 D．2 答案 C
解析 当n＝1时，a1＝S1＝3＋k，
nn－1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3＋k)－(3＋k) nn－1n－1＝3－3＝2·3.
由题意知{an}为等比数列，所以a1＝3＋k＝2， ∴k＝－1.
6．在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和
4∴S5＝ .
.
为( )
A．514 B．513 C．512 D．510 答案 D
解析 由a1＋a4＝18和a2＋a3＝12，
??a1＋a1q＝18
得方程组?2
?a1q＋a1q＝12?
3
??a1＝2
，解得?
?q＝2?
8
a1＝16??
或?1
q＝??2
.
2
∵q为整数，∴q＝2，a1＝2，S8＝
2－19
＝2－2＝510.
2－1
二、填空题
n－1
7．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3＋t，则t＝________.
1
答案 －
3
n解析 显然q≠1，此时应有Sn＝A(q－1)，
1n1又Sn＝·3＋t，∴t＝－.
33
8．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________. 答案 3
3
a11－q64·a11－q33
解析 S6＝4S3?＝?q＝3(q＝1不合题意，舍去)．
1－q1－q3
∴a4＝a1·q＝1×3＝3. 9．若等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，前n项和为Sn＝－341，则n的值是________． 答案 10
a1－anq1＋512q解析 Sn＝，∴－341＝，
1－q1－qn－1n－1
∴q＝－2，又∵an＝a1q，∴－512＝(－2)， ∴n＝10.
10．如果数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则此数列的通项公式an＝________.
n－1
答案 2
解析 当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1) ∴an＝2an－1，∴{an}是等比数列，
n－1*
∴an＝2，n∈N. 三、解答题
11．在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a3an－2＝128，Sn＝126，求n和q.
??a1an＝128，
解 ∵a3an－2＝a1an，∴a1an＝128，解方程组?
?a1＋an＝66，?
得?
?a1＝64，???an＝2，
??a1＝2，
或?
?an＝64.?
①
②
a1－anq1
，可得q＝， 1－q2n－1
由an＝a1q可解得n＝6.
a1－anq将②代入Sn＝，可得q＝2，
1－q将①代入Sn＝
.
.
1
可解得n＝6.故n＝6，q＝或2.
2
23n12．求和：Sn＝x＋2x＋3x＋…＋nx (x≠0)． 解 分x＝1和x≠1两种情况．
nn＋1
(1)当x＝1时，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝.
2
23n(2)当x≠1时，Sn＝x＋2x＋3x＋…＋nx， xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
x1－xn23nn＋1n＋1
∴(1－x)Sn＝x＋x＋x＋…＋x－nx＝－nx.
1－x由an＝a1qn－1
∴Sx1－xnnxn＋1
n＝1－x2－
1－x. 综上可得Sn＝ ??nn＋1
?2 x＝1
??
x1－xnnxn＋1
1－x2－
1－x x≠1且x≠0
.
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能力提升
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