初三相似三角形的基本模型

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∴ ∴∴ 综合题2：已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：BP＝PE·PF ． 2 答案：证明:∵AB＝AC，AD是中线， ∴AD⊥BC,BP=CP ∴∠1=∠2 又∵∠ABC=∠ACB ∴∠3=∠4 ∵CF∥AB ∴∠3=∠F,∠4=∠F 又∵∠EPC=∠CPF ∴△EPC∽△CPF ∴∴BP＝PE·PF 即证所求 2 综合题3：如图，已知△ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。求证： DE=EG?EH 2.\\

答案：证明：∵DE⊥AB ∴∵＝90° ＝90° ∴ ∵ ∴△ADE∽△DBE ∴ ∴DE2=AE·BE ∵BF⊥AC ∴∵∴ ＝90° ＝90°且 ∵ ∴△BEG∽△HEA ∴∴＝ ∴DE2=EG·EH 综合题4：已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H. 求证： PEPH? PFPG.\\

答案：证明：∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB∥CD，AD∥BC ∴∠1=∠2，∠G=∠H，∠5=∠6 ∴△PAH∽△PCG ∴ 又∵∠3=∠4 ∴△APE∽△CPF ∴ ∴ 综合题5：已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：PD＝AD·DH 。 2 答案：证明：如图，连接BH交AC于点E， .\\

∵H为垂心 ∴BE⊥AC ∴∠EBC+∠BCA=90° ∵AD⊥BC于D ∴∠DAC+∠BCA=90° ∴∠EBC=∠DAC 又∠BDH=∠ADC=90° ∴△BDH∽△ADC ∴BDAD，即BDg?DC?ADgDH DHDC∵∠BPC为直角，AD⊥BC ∴PD2＝BD·DC ∴PD2＝AD·DH 综合题6：已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。 求证：ACgCF?BCgDF 证明：∵CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点 ∴CE=EB=DE ∴∠B=∠BDE=∠FDA ∵∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90° ∴∠B=∠ACD ∴∠FDA=∠ACD ∵∠F=∠F ∴△FDA∽△FCD ∴FDAD? FCCD∵∠ADC=∠CDB=90°，∠B=∠ACD .\\

∴△ACD∽△CBD ADAC ?CDBCFDAC∴ ?FCBC即ACgCF?BCgDF ∴ 综合题7：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E. 求证：（1）△AED∽△CBM；（2）AEgCM?ACgCD 答案：证明：（1）∵∠ACB＝∠ADC＝90° ∴∠A＋∠ACD＝90° ∠BCM＋∠ACD＝90° ∴∠A＝∠BCM 同理可得：∠MDH＝∠MBD ∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD ∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH ∴∠ADE＝∠CMB ∴△AED∽△CBM AEAD，即AEg?CM?ADgCB CBCM故只需证明ACgCD?ADgCB即可 （2）由上问可知：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC ∴△ACD∽△ABC ADCD，即ACg?CD?ADgCB ACBC∴AEgCM?ACgCD ∴ 综合题8：如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F. （1）求证：FD?FBgFC. （2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？并说明理由. 2