选修2-3《组合数的性质》辅导与练习
知识方法：
mn?m1. 组合数的性质1：Cn． ?Cn一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n?m个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同．．．．元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：
mn?m．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。 Cn?Cn证明：∵Cnn?m?说明：
n!n!mn?mn! 又Cnm?，∴Cn ?Cn?(n?m)![n?(n?m)]!m!(n?m)!m!(n?m)!0①规定：Cn?1；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：
当m?nmn?m20012002?20011时，计算Cn可变为计算Cn，能够使运算简化.例如C2002＝C2002＝C2002=2002； 2④Cnx?Cny?x?y或x?y?n。
mmm?12．组合数的性质2：Cn． ?1＝Cn+Cnm一般地，从a1,a2,?,an?1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn?1，这些组合
可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这n个元
m?1素中取出m ?1个元素与a1组成的，共有Cn个；不含有a1的组合是从a2,a3,?,an?1这n个m元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性
质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．
证明：Cnm?Cnm?1? ?(n?m?1?m)n!?m!(n?m?1)!n!n! ?n!(n?m?1)?n!m ?m!(n?m)!(m?1)![n?(m?1)]!m!(n?m?1)!mmmm?1(n?1)! ∴＝+。 C?CnCCn?1n?1nm!(n?m?1)!说明：①公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数； ②此性质的作用：恒等变形，简化运算。 同步练习：
1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
2．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A．150种 B．180种 C．300种 D．345种
3．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )
A．12种 B．18种 C．36种 D．54种
4．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A．10 B．11 C．12 D．15
6.如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，不同的取法种数为( )
A．40 B．48 C．56 D．62
7．从1,2,3,4中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是_____． 8．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．
9．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有____种． 三、解答题
10．现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 11．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种不同的分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．
12．如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A、B的六个点C1、C2、C3、C4、C5、C6，直径AB上有异于A、B的四个点D1、D2、D3、D4.
(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C1点的有多少个？
(2)以图中的12个点(包括A、B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
参考答案：
1.解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，
221
共有C13C4＋C3C4＝18＋12＝30种选法．
33
法二：总共有C37＝35种选法，减去只选A类的C3＝1种，再减去只选B类的C4＝4种，
故有30种选法．
2.解析：选D.依题意，就所选出的1名女同学的来源分类：第一类，所选出的1名女同学来
12
自于甲组的相应选法有C13·C5·C6＝225种；第二类，所选出的1名女同学来自于乙组的相应12选法有C12·C6·C5＝120种．因此满足题意的选法共有225＋120＝345种，选D.
3.解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个
2122信封中，有C24C2种方法，所以共有C3C4C2＝18种方法．
34.解析：选A.当选择的3名医生都是男医生或都是女医生时，共有C35＋C4＝14种组法，从9
人中选择3人一共有C39＝84种组法，所以要求男，女医生都有的情况共有84－14＝70种组
2队方法．本题也可以应用直接法进行求解：当小分队中有一名女医生时有C14C5＝40种组法；1当小分队中有2名女医生时有C24C5＝30种组法，故共有70种组队方法．
5.解析：选B.与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：
第一类：与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同，有C24＝6个；
第二类：与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同，有C14＝4个；
第三类：与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个对应位置上的数字都不同，有C04＝1个．
由加法原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6＋4＋1＝11.
6.解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：
第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4C5种取法； 第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2C34种取法；
第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C12种取法．
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所以，满足题意的不同取法共有4C35＋2C4＋4C2＝56种．
3
7.解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C2满足一个数是另一个数两倍的组合为4＝6，
211
{1,2}，{2,4}，故P＝＝. 答案： 633
1111
8.解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C45C2C2C2C2＝
80(种)．答案：80
1329.解析：分两类，有4件次品的抽法为C44C46(种)；有三件次品的抽法有C4C46(种)，所以共有132C44C46＋C4C46＝4186种不同的抽法．答案：4186
10.解：(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝
10×9
＝45(种)． 2×1
(2)从6名男教师中选2名的选法有C2从4名女教师中选2名的选法有C2根据分6种，4种，
2
步乘法计数原理，共有选法C26·C4＝
6×54×3
·＝90(种)． 2×12×1
11.解：(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本，这件事分三步完成．
第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C49种方法； 第二步：从余下的5本书中，任取3本分给乙，有C35种方法； 第三步：把剩下的两本书给丙，有C22种方法．
32根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C49C5C2＝1260(种)．
所以甲得4本，乙得3本，丙得2本的分法共有1260种． (2)一人得4本，一人得3本，一人得2本，这件事分两步完成．
32第一步：按4本、3本、2本分成三组，有C49C5C2种方法；
第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A33种方法．
323根据分步乘法计数原理知，共有不同的分法C49C5C2A3＝7560(种)．
所以一人得4本，一人得3本，一人得2本的分法共有7560(种)． (3)用与(1)相同的方法求解，得
33C39C6C3＝1680(种)．所以甲、乙、丙各得3本的分法共有1680种．
12.解：(1)可分三种情况处理：
①C1、C2、?、C6这六个点任取三点可构成一个三角形；
②C1、C2、?、C6中任取一点，D1、D2、D3、D4中任取两点可构成一个三角形； ③C1、C2、?、C6中任取两点，D1、D2、D3、D4中任取一点可构成一个三角形．
12212112∴C36＋C6C4＋C6C4＝116(个)．其中含C1点的三角形有C5＋C5·C4＋C4＝36(个)． 3122(2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C46＋C6C6＋C6C6＝360(个)．
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