201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民
2016年第33届全国中学生物理竞赛预赛试卷
本卷共16题，满分200分．
一、选择题．本题共5小题，每小题6分．在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一
项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后页的括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．如图，球心在坐标原点O的球面上有三个彼此绝缘的金属环，它们分别与x?y平面、y?z平面、z?x平面与球面的交线（大圆）重合，各自通有大小相等的电流，电流的流向如图中箭头所示．坐标原点处的磁场方向与x轴、y轴、z轴的夹角分别是 [ ]
111，?arcsin，?arcsin 333111B．arcsin，?arcsin，?arcsin
333111C．arcsin，arcsin，?arcsin
333111D．arcsin，arcsin，arcsin
333A．?arcsin
2．从楼顶边缘以大小为v0的初速度竖直上抛一小球；经过t0时间后在楼顶边缘从静止开始释放另一小球．若要求两小球同时落地，忽略空气阻力，则v0的取值范围和抛出点的高度应为 [ ]
1????v?gt12?v0?gt0?12?020?1A．gt0?v0?gt0，h?gt0??B．v0?gt0，h?gt0?? 122v?gt20??v0?gt0??0?2???1????v?gt12?020?12?v0?gt0?11C．gt0?v0?gt0，h?gt0??D．v0?gt0，h?gt0??12v?gt22200???v0?gt0????2?
3．如图，四个半径相同的小球（构成一个体系）置于水平桌面的一条直线上，其中一个是钕永磁球（标有北极N和南极S），其余三个是钢球；钕球与右边两个钢球相互接触．让另一钢球在钕球左边一定距离处从静止释放，逐渐加速，直至与钕球碰撞，此时最右边
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2222201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民 的钢球立即以很大的速度被弹开．对于整个过程的始末，下列说法正确的是 [ ] A．体系动能增加，体系磁能减少 B．体系动能减少，体系磁能增加 C．体系动能减少，体系磁能减少 D．体系动能增加，体系磁能增加
4．如图，一带正电荷Q的绝缘小球（可视为点电荷）固定在光滑绝缘平板上，另一绝缘小球（可视为点电荷）所带电荷用（其值可任意选择）表示，可在平板上移动，并连在轻弹簧的一端，轻弹簧的另一端连在固定挡板上；两小球的球心在弹簧的轴线上．不考虑可移动小球与固定小球相互接触的情形，且弹簧的形变处于弹性限度内．关于可移动小球的平衡位置，下列说法正确的是 [ ] A．若q?0，总有一个平衡的位置 B．若q?0，没有平衡位置
C．若q?0，可能有一个或两个平衡位置
D．若q?0，没有平衡位置
5．如图，小物块a、b和c静置于光滑水平地面上．现让a以速度V向右运动，与b发生弹性正碰，然后b与c也发生弹性正碰．若b和c的质量可任意选择，碰后c的最大速度接近于 [ ] A．2V B．3V C．4V D．5V
二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写出求得结果的过程． 6．（10分）2016年2月11日美国国家科学基金会宣布：美国的“激光干涉引力波天文台”?LIGO?的两台孪生引力波探测器首次直接探测到了引力波．该引力波是由13亿光年之外的两颗黑洞在合并的最后阶段产生的．初始质量分别为29倍太阳质量和36倍太阳质量的两颗黑洞，合并成了一颗62倍太阳质量、高速旋转的黑洞；亏损的质量以引力波的形式释放到宇宙空间．这亏损的质量为______kg，相当于______J的能量．已
30知太阳质量约为2.0?10kg，光在真空中的速度为3.0?10m．
8 7．（10分）在一水平直线上相距18m的A、B两点放置两个波源．这两个波源振动的方向平行、振幅相等、频率都是30Hz，且有相位差π．它们沿同一条直线在其两边的媒质中各激起简谱横波．波在媒质中的传播速度为360m/s．这两列波在A、B两点所在直线上因干涉而振幅等于原来各自振幅的点有______个，它们到A点的距离依次为_____________________m．
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201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民 8．（10分）如图，以a、b为端点的线圈1的自感为L1，以c、d为端点的线圈2的自感为L2，互感为M（线圈1中的电流的变化在线圈2中产生的感应电动势与线圈中电流随时间的变化率成正比，比例系数称为互感M21；且M12?M21?M）．若将两线圈1和2首尾相连（顺接）而串联起来，如图（a）所示，则总自感为______；若将两线圈1和2尾尾相接（反接）而串联起来，如图（b）所示，则总自感为______．
9．（10分）如图，一小角度单摆的轻质摆杆的长度AB?L，地球半径OC?R，单摆的悬点到地面的距离AC?L．已知地球质量为M，引力常量为G．当L=R时，单摆做简谐运动的周期为______；当L?R时，单摆做简谐运动的周期为______．悬点相对于地球不动，不考虑地球自转．
?10．（10分）?子与电子的性质相似，其电量与电子相同，而质量mμ约为电子的206.8倍．用?子代替氢原子中的电子就形成?子－氢原子，?子－氢原子的线状光谱与氢原子具有相似的规律．?子－氢原子基态的电离能为______eV，?子－氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态发出的光子的波长为______A．已知质子质量mp是电子的1836倍，氢原子基态的电离能为13.605eV；光在真容中的速度为2.998?10m/s，普朗克常量为4.136?10??????g8?15则?子相当于质量为
?eV?s．（按玻尔理论计算时，在?子－氢原子中若仍将质子视为不动，
mμmpmμ?mp的带电粒子．）
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三、计算题．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最
后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位． 11．（20分）一足球运动员1自A点向球门的B点踢出球，已知A、B之间的距离为s，
球自A向B的运动可视为水平地面上的匀速直线运动，速率为u．另一足球运动员2到AB连线的距离为l，到A、B两点的距离相等．运动员1踢出球后，运动员2以匀速v沿直线去拦截该球．设运动员2开始出发去拦截球的时刻与球被运动员1踢出的时刻相同．
（1）如果运动员2能拦截到球，求运动员2开始出发去拦截球直至拦截到球的时间间隔、
球被拦截时球到A点的距离、球到运动员2出发点的距离和运动员2运动的方向与A、B连线的夹角；
（2）求为了使运动员2能拦截到球，u、v、s和l应当满足的条件．
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201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民 12．（20分）一固体星球可近似看作半径为R（足够大）的球形均匀的固体，构成星球的物质的密度为?，引力常量为G．
（1）考虑星球表面山体的高度．如果山高超出某一限度，山基便发生流动（可认为是山
基部分物质熔化的结果，相当于超出山的最高限的那块固体物质从山顶移走了），从而使山的高度减低．山在这种情况下其高度的小幅减低可视为一小块质量的物质从山顶移至山底．假设该小块的物质重力势能的减小与其全部熔化所需要的能量相当，山体由同一种物质构成该物质的熔化热为，不考虑温度升到熔点所需要能量，也不考虑压强对固体熔化热的影响．试估计由同一种物质构成的山体高度的上限．
（2）若由同一种物质构成的山高的上限不大于R/10，试估计在此条件下由同一种物质
构成的星球半径的下限．
633（3）月亮是一个固体星球，其密度和半径分别为3.34?10kg/m和1.7?10m．假设月
亮全由SiO2构成，SiO2的熔化热为2.4?105J/kg．已知
G?6.67?10?11N?m2/kg2．估计月球上的山体高度与月球半径比值的上限．
13．（20分）真空中平行板电容器两极板的面积均为S，相距d，上、下极板所带电量分
别为Q和?Q?Q?0?．现将一厚度为t、面积为S/2（宽度和原来的极板相同，长度是原来极板的一半）的金属片在上极板的正下方平行插入电容器，将电容器分成如
图所示的1、2、3三部分．不考虑边缘效应．静电力常量为k．试求
（1）插入金属片以后电容器的总电容； （2）金属片上表面所带电量；
（3）1、2、3三部分的电场强度； （4）插入金属片过程中外力所做的功．
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201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民 14．（20分）如图，两个相同的正方形刚性细金属框ABCD和A?B?C?D?的质量均为m，边长均为a，每边电阻均为R；两框部分地交叠在同一平面内，两框交叠部分长为l，电接触良好．将整个系统置于恒定的匀强磁场中，磁感应强度大小为B0，方向垂直于框面（纸面）向纸面内．现将磁场突然撤去，求流过框边重叠部分A?D的横截面的总电荷量．不计摩擦、重力和框的电感．
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201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民 15．（20分）牛顿曾观察到一束细日光射到有灰尘的反射镜上面会产生干涉条纹．为了分
析这一现象背后的物理，考虑如图所示的简单实验．一平板玻璃的折射率为n，厚度为t，下表面涂有水银反射层，上表面撒有滑石粉（灰尘粒子）．观察者O和单色点光源L（光线的波长为λ）的连线垂直于镜面（垂足为N），LN?a，ON?b．反射
镜面上的某灰尘粒子P与直线ON的距离为r?b?a?r?t?．观察者可以观察到明暗相间的环形条纹．
（1）求第m个亮环到N点的距离；
（2）若n?1.63，a?0.0495m，b?0.245m，t?1.1?10m，??680nm，求最小
?5亮环?m?1?的半径． 已知：sinx?x，1?x?1?x2，当x=1．
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201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民 16．（20分）充有水的连通软管常常用来检验建筑物的水平度．但软管中气泡会使得该软管两边管口水面不在同一水平面上．为了说明这一现象的物理原因，考虑如图所示的连通水管（由三管内径相同的U形管密接而成），其中封有一段空气（可视为理想气体），与空气接触的四段水管均在竖直方向；且两个有水的U形管两边水面分别等高．此时被封闭的空气柱的长度为La．已知大气压强为P0、水的密度为?、重力加速度大小为g， L0?P0/??g?．现由左管口添加体积为?V?xS的水，S为水管的横截面积，在稳定后：
（1）求两个有水的U形管两边水面的高度的变化和左管添水后封闭的空气柱长度；
（2）当x=L0、La=L0时，求两个有水的U形管两边水面的高度的变化（用x表出）
以及空气柱的长度．已知1?z?1?
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1z，当z=1． 2201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民
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参考解答与评分标准
一、选择题
本题共5小题，每小题6分．在每题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意．把符合题意的选项前面的英文字母写在每小题后页的方括号内．全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分． 1．[D]； 2．[C]； 3．[A]； 4．[AC]； 5．[C]
二、填空题．把答案填在题中的横线上．只要给出结果，不需写求得结果的过程． 6．（10分）答案：6.0?10（5分）；5.4?10（5分） 7．（10分）答案：6（5分）；2.0，4.0，8.0，10，14，16（5分） 8．（10分）答案：L1?L2?2M（5分）；L1?L2?2M（5分）
3047LR2R39．（10分）答案：2?（5分）；2?（5分）
MGMG10．（10分）答案：2530（5分，得2529的也给这5分）；
35.29（5分，得35.30的也给这5分）
三、计算题 计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后结果的不能得分．有数值计算的，答案中必须明确写出数值和单位． 11．（20分）
（1）记运动员1踢出球的时刻为零时刻．设运动员2沿着与A、B连线夹角为?的方向运动，球在时刻t被运动员2拦截．令球被拦截时球到点和运动员2到出发点的距离分别为s1和s2，则s1?ut ①s2??t ②
由几何关系有s1?s2cos??s 22③s2sin??l
2 ④
s?2?从③④式消去?，并利用①②式得l??ut????vt? ⑤
2???2s2?222此即u?vt?ust??l???0 ⑥
4?????2s2?us?us?4?u?v??l??4??这是关于t的一元二次方程。解为t?t??2?u2?v2?2222?us?4?v2?u2?l2?u2s22?u?v22? ⑦
由①②⑦式得s1?s1??uus?4?v2?u2?l2?u2s22?u2?v2? ⑧
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s2?s2??vus?4?v2?u2?l2?v2s22?u2?v2? ⑨
2l?usm4?v2?u2?l2?u2s2?????由④⑨式得?????arcsin 22v?s?4l?222222 ⑩
?s2?2（2）方程⑥有实数解的条件是4?v?u?l?vs?0 或v?1?2??u
?4l?依题意有t?0 条件要求u?v，当t?t? u?v，当t?t?
?s?值得注意的是，利用⑩式条件?1?sin???1可写成?s?4l??v?u??0
?2l?222
它是自动满足的。综上所述，当
式即运动员2拦截到球的条件。
式中大于号成立时，运动员2可在两处拦截到球；当中等号成立时，
s2u?v1?2?v
4l2l2s2⑦⑧⑨⑩式成为t?1?2 vs4l
s?4l2?s1??1?2?2?s?ss?4l22
4l2s2?l1?2 s??arcsin 运动员2只能在一处拦截到球。
评分参考：第（1）问10分，①②③④⑥式各1分，⑦式2分，⑧⑨⑩式各1分；第（2）问10分，或式2分，式各1分，式2分，式各1分。 12.（20分）
（1）由于星体是均匀的球体，且山体的高度h远小于球体的半径R。按题设模型有
mghmax?mL ①
m是会熔化掉的那一小块物质的质量。hmax是由同样物质构成的山体高度上限，式中，
GM R243式中M是星体的质量。根据本题假设有M??R?
3在星球表面由引力产生的加速度大小为g?
③
④
②
由①②③式得，半径为R的星球上的山体高度的上限为hmax?故该星球上山体的高度应满足h?（2）按题设要求有hmax?3L
4?G?R
⑤
3L
4?G?R
R15L ⑥由④⑥式得R?⑦ 102?G?第 10 页 共 16 页
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由⑤式得
h3L? R4??GR2⑧
⑨
h32.4?105?0.09 代入题给数据得?3?11212R4?3.34?106.67?10?1.7?10评分参考：第（1）问10分，①②③④⑤式各2分；第（2）问5分，⑥式2分，⑦式3分；第（3）问5分，⑧式2分，⑨式3分。 13.（20分）
（1）总电容等效为三个电容器，1、2串联，再与3并联。其中电容器1的极板面积为S/2，间距设为x；电容器2的极板面积为S/2，间距为d?x?t；电容器3的极板面积为S/2，间距为d。
由平行板电容器电容公式，三个电容的值分别为
C1?1S1S1S，C2?，C3?
4πk2?d?x?t?4πk2x4πk2d111?? C12C1C2
②
①
电容器1和2串联后的电容C12满足由①②式得C12?由①③④式得C?1S
4πk2?d?t?③电容的值C满足C?C12?C3
⑤
④
S?11????
8πk?dd?t?（2）设电容器1和3极板上的电荷量分别为Q12和Q3，则极板上的总电荷量为Q?Q12?Q3 联立⑥⑦式得Q12?
Q12C12d?? ⑥ Q3C3d?t
⑦
dd?tQ，Q3?Q⑧ 2d?t2d?t由于C1、C2串联，所以Q12即等于金属片上表面所带的电量值，电性为负。
Q（3）设电容器C1两极板间的电压为U1，有U1?12 ⑨
C1U以E1表示C1中的场强，有E1?1 ⑩
x8πkQd由①⑧⑨⑩各式得E1?
S2d?t8πkQ?d?t?8πkQd同理可得电容器C2和C3中的场强E2?E1? E3?
S2d?tS2d?t
SQ2（4）插入金属片前，总电容为C0?所储存的能量为E0能量?
4πkd2C0
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插入金属片后，总电容变为C，总电量不变。储存的能量变为E能量
Q2? 2C
插入过程外力做功W?E能量?E0能量 由⑤
2πkQ2dt式得W??
S2d?t负值表示插入过程中，外力方向与位移方向相反，即电容器对金属片有吸引力。 评分参考：第（1）问6分，①式得3分；②④⑤式各1分；第（2）问4分，⑥⑦式各1分，⑧式2分；第（3）问5分，⑨⑩式各1分；第（4）问5分，式各1分。
14.（20分）在撤去磁场（磁感应强度从B0变至零）
的时间内，框内产生感应电流。考虑左框构成的闭合回路ABCD，设在时刻t磁场的磁感应强度
B?t?，正方形回路的感应电动势为
?B?t??1??a ①
?ta?2?a?l?2lRRl2?由欧姆定律有?1??I1?I2??RI1 ②
aa2式中，I2和I1分别是时刻t流经框边BA和内框边DC的电流（如图）。联立①②式有
2l?l???2?B?t?1?RI?3?Rl??a ??1??2a??t?a??考虑由两框内边与上下交叠部分围成的闭合回路A?B?CD，感应电动势为
?B?t??2??S
?t式中S为闭合回路A?B?CD的面积S?la ⑤
2lR由欧姆定律有?2?RI1??I1?I2??RI1 ⑥
a2?B?t?l?l?2?RI?RI??la联立④⑤⑥式得? ⑦ 2?1a?a?t?联立③⑦式得I1 ③
④
?2a?l?l??a2?B?t?
3a2?l22R?t⑧I22a????l2?a2?B?t? ⑨
3a2?l22R?t2在从t到t??t的时间间隔内，流过框边重叠部分AD的横截面的电荷量为
?Q??I1?I2??t
a?al?l?a?由⑨⑩式得?Q???3a?l?R22222
⑩
?B?t?
在撤去磁场（磁感应强度从B0变至零）的时间内，流过框边重叠部分A?D的横截面
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a?al?l?a?a?al?l的总电荷量为Q?0???0?B? 此即Q??3a?l?3a?l?R2222222022B0a2 R评分参考：①式得3分，②④式各2分，⑤式1分，⑥式2分，⑧⑨式各2分，⑩式3分，式1分，式2分。
15.（20分）
（1）如图，考虑从光源L发出的两条光线（可视为相互平行）：其中一条光线经平板的上表面Q点折射后到达下表面的X点，反射后（再折射）到达微粒P，经（漫）反射后射向O点；另一条光线经微粒P（漫）反射后，折射入玻璃到达Y点，反射后到达Z点，再折射后射向O点；两条射向O点的光线也可视为相互平行。作QM垂直于从L点发出的两条光线，
分别与之交于Q、M点；作PR垂直于QX并与之交于R点；作PS垂直于在Y点反射后的光线并与之交于S点。LQ和LM的长度相等，MP和QR是
等光程的，PO和SO也是等光程的。因此，O点接受到的两条光线的光程差为 ① ?RXP-SYP
n式中，RXP=RX+XP，SYP=SY+YP，m是干涉环纹的级数。设在反射镜上的X点发生反射的光线的入射角和反射角分别为???和????（图中未标出）。由于平板玻璃上、下两表面平行有?????? ② 按反射定律有???????? ③
据题设，P点在点N附近，且????很小，因而??????也很小；由几何关系得 RXP?2tcos???QPsin???2tcos?? 同理SYP?2tcos???ZPsin???2tcos?? ⑤ 由①④⑤式得m
④
m??n按折射定律有sin??nsin??
?2tcos???cos??
⑨
⑦
⑧sin??nsin??
sin2??2由⑧式和题给近似（?很小）得cos???1??1?2
n22nsin2??2同理有cos???1? ?1?2 2n2n?t22由⑦⑩式得m?2?????
nnmn?rr注意到??和??，由式解得r?ba 22bat?b?a? ⑩
?5 （2）利用题给数据（n?1.63，a?0.0495m，b?0.245m，t?1.1?10m，
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??680nm）和式得，最小亮环?m?1?的半径为r0?0.016m
评分参考：第（1）问18分，①式5分，②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩分，第（2）问2分，式2分。
16.（20分）
解法（一）
（1）设在左管添加水之前左右两个U形管两边水面的高度分别为h1和h2，添加水之后左右两个
式各1分，式2
U形管两边水面的高度分别为h1L、h1R和h2L、h2R，如图所示，设被封闭的空气的压强为P，空气柱的长度为Lb。水在常温常压下可视为不可压缩的流体，故2h1?x?h1L?h1R ①
2h2?h2L?h2R ②
由力学平衡条件有P0??gh1L?P??gh1R ③
P0??gh2R?P??gh2L ④
由于连通管中间高度不变，有h1?h2?La?h1R?h2L?Lb ⑤ 由玻意耳定律得P满足的方程P0La?PLb ⑥
L2?1?联立①②③④⑤⑥式得P满足的方程0P??La?L0?x?P?P0La?0
P02??2??xx???? ?L0?La???La?L0???4LaL0?
22??????2?1?xx????将⑦式代入⑥式得Lb??La?L0???La?L0???4LaL0?
2?22??????h1L?h1L?h1?x??h1RP解得P?02L0⑦
⑧
由①②③④⑦式得
2?x?L01?xx???????L0?La???La?L0???4LaL0?⑨
24?22?????5x?2La?2L01?x???L?L?0?a??4LaL084?2?2第33届物理竞赛预赛试卷 第 14 页 共 16 页
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?h1R?h1R?h1?L0?xP?22?g
⑩
2?x?L01?xx???????L0?La???La?L0???4LaL0?
24?22?????3x?2La?2L01??84LP?h2L?h2L?h2?0?22?gx??L?L?0?a??4LaL02??22?L01?xx???????L0?La???La?L0???4LaL0? 24?22?????
2L?2L0?x1?x??a?L?L?0?a??4LaL084?2??h2R?h2R?h2???h2L2 x?2La?2L01?x????La?L0???4LaL084?2?2
（2）在x=L0和La=L0的情形下，由⑧式得Lb?La由⑨⑩式得?h1L?
⑦式成为P?P0?1???x??2L0?3x 4?h1R???h2L??h2R?1x 4
评分参考：第（1）问14分，①②③④⑤⑥⑦⑧式各1分，⑨⑩式各2分，
式各1分，
式各2分。
式各1分；第（2）问6分，解法（二）
（1）设U形管1左侧末态水面比初态水面上升
x?y，右侧末态水面比初态上升2x?y，U形管2左侧末态水面比初态水面下降y，右侧末态水面比初态上升y。由2玻意耳定律得LaL0?Lb?L0?2y? ① x ?2y?Lb
2x??将②式代入①式得L0La??La??2y??L0?2y?
2??由几何关系有La?
②
③
xLL1?x?L?L?解得y??0?a?a?0??2xL0 8444?2?第33届物理竞赛预赛试卷
2 ④
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201707温州翔宇中学高中物理竞赛 指导教师：刘益民
此即U形管2左侧末态比初态水面下降值，也是右侧末态比初态水面上升值（负根
xLL1?x?y??0?a?L?L?。U形管1左侧a?0??2xL0不符合题意，已舍去）8444?2?15xL0La1?x????L?L?末态比初态水面上升x?y?a?0??2xL0 28444?2?222⑤
13xL0La1?x????L?L?右侧末态比初态水面上升x?y?⑥ a?0??2xL0 28444?2?LLx1?xx?L?L?将④式代入②式得Lb?La??2y?a?0??a?0??2xL0⑦
22242?2?（2）在x=L0和La=L0的情形下，④⑤⑥⑦式中的根号部分
2x?x2?22?L0?La???2xL0?L0?La??2L0La?xL0?xLa?2xL02?4?L2LxLx2xa?L01?2?2?2a?2a?L04L0L0L0L0?1?L2LxLx2x??a?L0?1??2?2?2a?2a???L0L0L0???2?L04L0
⑧
2?xL1?L2x2a?L0????2La?a?x?2?L04L0L0?1?L0??2La?x?21?L0?La?x21⑧式推导过程中用到了1?z?1?z，当z=1。将⑧式代入④⑤⑥⑦式中分别得
2xLL1?x?3y??0?a??L0?La??? ⑨
8444?2?411x3x ⑩ x?y?x??224411xx x?y?x??
2244LLx1?x?Lb?a?0???L0?La???La
2242?2?评分参考：第（1）问14分，①式4分，②③式各1分，④式3分，⑤式2分，⑥式1分，⑦式2分。第（2）问6分，⑨⑩式各2分，
第33届物理竞赛预赛试卷
式各1分。
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