《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合

式中h0,h1,h2,Lhn?1是 n个待定常数。由式(9-24)的第一个方程可得输出方程

y?x1?h0u

其余可得(n-1)个状态方程

x1?x2?h1ux2?x3?h3uMxn?1?xn?hn?1u对xn求导数并考虑式(9-22)有

.....

xn?y?h0u.(n)(n?1)?Lhn?1u?(?an?1u(n?1)?an?2y(n?2)(n).?L?a1y?a0y?b0u?L?b1u?b0u)?h0u(n)?h1u(n?1) ?L?hn?1u由式(9-24)将y(n?1).,Ly,y均以xi及u的各阶导数表示,经整理可得 xn??a0x1?a1x2?L?an?2xn?1?an?1xn?(bn?h0)u(n)?(bn?1?h1?an?1b0)u(n?1)?(bn?2?h2?an?1h1?an?2h0)u(n?2)?L?(b1?hn?1?an?1hn?2?an?2hn?3?L?a1h0)u?(b0?an?1hn?1?an?2hn?2?L?a1h1?a0h0)u...

令上式中u的各阶导数项的系数为零,可确定各h 值

h0?bnh1?bn?1?an?1h0h2?bn?2?an?1h1?an?2h0Mhn?1?b1?an?1hn?2?an?2hn?3?L?a1h0记

hn?b0?an?1hn?1?an?2hn?2?La1h1?a0b0.

，故

xn??a0x1?a1x2?L?an?2xn?1?an?1xn?hnu

则式( 9-22 )的向量-矩阵形式的动态方程为

x?Ax?bu,y?cx?du （9-25）

.式中

???A???????a0c??10010L001L??h1???h???2??,b??L? MMMLM???000L1h??n?1???a1?a2L?an?1???hn??L0?,d?h000式(9-22)的状态变量图见图9-8。若输入量中仅含m次导数且m

当bn?0时,我们可以令上述公式中的h0?0得到所需要的结果,也可按如下规则选择另一组状态变量。设

xn?yxi?xi?1?aiy?biu;i?1,2L,n?1.? (9-26)

其展开式为

xn?1?xn?an?1y?bn?1u?y?an?1y?bn?1uxn?2?xn?1?an?2y?bn?2u?y?an?1y?bn?1u?an?2y?bn?2uMx2?x3?a2y?b2u?y(n?2)?an?1y(n?3)?bn?1u(n?3)?an?2y(n?4)

?b?2u(n?4)?L?a2y?b2ux1?x2?a1y?b1u?y(n?1)?an?1y(n?2)?bn?1u(n?2)?an?2y(n?3)?bn?2u(n?3)?L?a1y?b1u.........

故有(n- 1)个状态方程

xn?xn?1?an?1xn?bn?1uxn?1?xn?2?an?2xn?bn?2u Mx2?x1?a1xn?b1u对??1,求导数且考虑式(9-22) ,经整理有

x1??a0xn?b0u

....则式(9-22) ????=0时的动态方程为

x1?Ax?bu,y?cx (9-27)

.式中

?0?1?A??0??M??0001M0LLLL000M1..?a0??b0??b??a1???1??a2?,b??b2?,c??0L???M?M????an?1???bn?1??..01?

例9-4 设二阶系统微分方程为

y?2??y??y?Tu?u

2试求系统状态空间表达式。

解 设状态变量

x1?y?h0u,x2?x1?h1u?y?h0u?h1u，

...故有

y?x1?h0u,x1?x2?h1u

.对 ??2求导数且考虑??1,??2及系统微分方程有

x2?y?h0u?h1u?(??y?2??y?Tu?u)?h0u?h1u???2x1?2??x2?h0u?(T?2??h0?h1)u?(1??2h0?2??h1)u.........2.....

令u,u 项的系数为零可得

h0?0,h1?T

...故

x2???2x1?2??x2?(1?2??T)u

.系统的状态空间表达式为

?.??x1???0?.????2??x2?1??x1??T??x1??u,y?10???x??1?2??T??x?

?2?????2????2?(3)由系统传递函数建立状态空间表达式

式(9-22 )所对应的系统传递函数为

Y(s)bnsn?bn?1sn?1?bn?2sn?2?L?b1s?b0 （9-28） G(s)??U(s)sn?an?1sn?1?an?2sn?2?L?a1s?a0应用综合除法有

G(s)?bn??n?1sn?1??n?2sn?2?L??1s??0sn?an?1sn?1?an?2sn?2?L?a1s?a0@bn?N(s) （9-29） D(s)式中bn是直接联系输入、输出量的前馈系数,当G(s)的分母次数大于分子次数时,bn?0,

N(s)是严格有理真分式,其系数由综合除法得到为 D(s)?0?b0?a0bn?1?b1?a1bnM

?n?2?bn?2?an?2bn?n?1?bn?1?an?1bn下面介绍由

N(s)导出几种标准形式动态方程的方法 。 D(s)1)

N(s)N(s)串联分解的情况。将分解为两部分相串联,如图9-9所示,z为中间变D(s)D(s)量,z,y应满足

z?an?1z(n)(n?1)?L?a1z?a0z?u..

y??n?1z(n?1)?L??1z??0z