5年高考3年模拟（新课标版）2014年高考数学真题分类汇编 3.2 导数的应用 理

§3.2 导数的应用

考点一 函数的单调性

1.(2014课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=ax-3x+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) 答案 C

2.(2014课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=e-e-2x. (1)讨论f(x)的单调性;

(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值; (3)已知1.414 2<<1.414 3,估计ln 2的近似值(精确到0.001). 解析 (1)f '(x)=e+e-2≥0,等号仅当x=0时成立. 所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.

(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e-e-4b(e-e)+(8b-4)x, g'(x)=2[e+e-2b(e+e)+(4b-2)] =2(e+e-2)(e+e-2b+2).

(i)当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.

(ii)当b>2时,若x满足2

(3)由(2)知,g(ln)=-2b+2(2b-1)ln 2. 当b=2时,g(ln)=-4+6ln 2>0, ln 2>>0.692 8; 当b=+1时,ln(b-1+)=ln, g(ln)=--2+(3+2)ln 2<0, ln 2<<0.693 4.

所以ln 2的近似值为0.693.

3.(2014广东,21,14分)设函数f(x)=,其中k<-2. (1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示); (2)讨论函数f(x)在D上的单调性;

(3)若k<-6,求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示). 解析 (1)由题意得(x+2x+k)+2(x+2x+k)-3>0, ∴[(x+2x+k)+3]·[(x+2x+k)-1]>0, ∴x+2x+k<-3或x+2x+k>1,

∴(x+1)<-2-k(-2-k>0)或(x+1)>2-k(2-k>0), ∴|x+1|<或|x+1|>,

∴-1--1+, ∴函数f(x)的定义域D为

1

2

2

2

2

2

22

2

2

x

-x

x

-x

x

-x

2x

-2x

x

-x2x

-2x

x

-x

x

-x

x

-x3

2

C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)

(-∞,-1-)∪(-1-,-1+)∪(-1+,+∞). (2)f '(x)=- =-,

由f '(x)>0得(x+2x+k+1)(2x+2)<0,即(x+1+)(x+1-)(x+1)<0, ∴x<-1-或-1

(3)由f(x)=f(1)得(x+2x+k)+2(x+2x+k)-3=(3+k)+2(3+k)-3, ∴[(x+2x+k)-(3+k)]+2[(x+2x+k)-(3+k)]=0, ∴(x+2x+2k+5)·(x+2x-3)=0, ∴(x+1+)(x+1-)·(x+3)(x-1)=0, ∴x=-1-或x=-1+或x=-3或x=1, ∵k<-6,∴1∈(-1,-1+),-3∈(-1-,-1), -1-<-1-,-1+>-1+,

结合函数f(x)的单调性知f(x)>f(1)的解集为 (-1-,-1-)∪(-1-,-3)∪(1,-1+)∪(-1+,-1+). 考点二 函数的极值与最值

4.(2014课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=sin.若存在f(x)的极值点x0满足+[f(x0)]

A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案 C

5.(2014安徽,18,12分)设函数f(x)=1+(1+a)x-x-x,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;

(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值. 解析 (1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=1+a-2x-3x. 令f '(x)=0,得x1=,x2=,x1

当xx2时, f '(x)<0;当x10.

故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内单调递增. (2)因为a>0,所以x1<0,x2>0. ①当a≥4时,x2≥1.

由(1)知, f(x)在[0,1]上单调递增.

所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值. ②当0

由(1)知, f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减. 所以f(x)在x=x2=处取得最大值. 又f(0)=1, f(1)=a,所以

当0

2

2

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

当a=1时, f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值; 当1

6.(2014山东,20,13分)设函数f(x)=-k(k为常数,e=2.718 28?是自然对数的底数). (1)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;

(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围. 解析 (1)函数y=f(x)的定义域为(0,+∞). f '(x)=-k =-=.

由k≤0可得e-kx>0,

所以当x∈(0,2)时, f '(x)<0,函数y=f(x)单调递减, 当x∈(2,+∞)时, f '(x)>0,函数y=f(x)单调递增. 所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞). (2)由(1)知,当k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减, 故f(x)在(0,2)内不存在极值点;

当k>0时,设函数g(x)=e-kx,x∈[0,+∞). 因为g'(x)=e-k=e-e当0

当x∈(0,2)时,g'(x)=e-k>0,y=g(x)单调递增, 故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点; 当k>1时,

得x∈(0,ln k)时,g'(x)<0,函数y=g(x)单调递减, x∈(ln k,+∞)时,g'(x)>0,函数y=g(x)单调递增. 所以函数y=g(x)的最小值为g(ln k)=k(1-ln k). 函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点, 当且仅当解得e

综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为.

7.(2014福建,20,14分)已知函数f(x)=e-ax(a为常数)的图象与y轴交于点A,曲线y=f(x)在点A处的切线斜率为-1. (1)求a的值及函数f(x)的极值; (2)证明:当x>0时,x

(3)证明:对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x∈(x0,+∞)时,恒有x

当xln 2时, f '(x)>0,f(x)单调递增. 所以当x=ln 2时,f(x)取得极小值, 且极小值为f(ln 2)=e

ln 2

x

x

x

x

2

x

2

x

x

x

x

x

ln k

x

x

,

-2ln 2=2-ln 4,

3

f(x)无极大值.

(2)令g(x)=e-x,则g'(x)=e-2x. 由(1)得g'(x)=f(x)≥f(ln 2)>0, 故g(x)在R上单调递增,又g(0)=1>0, 因此,当x>0时,g(x)>g(0)>0,即x

(3)①若c≥1,则e≤ce.又由(2)知,当x>0时,x0时,x

取x0=0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

②若01,要使不等式xkx成立. 而要使e>kx成立,则只要x>ln(kx),只要x>2ln x+ln k成立. 令h(x)=x-2ln x-ln k,则h'(x)=1-=,

所以当x>2时,h'(x)>0,h(x)在(2,+∞)内单调递增. 取x0=16k>16,所以h(x)在(x0,+∞)内单调递增, 又h(x0)=16k-2ln(16k)-ln k=8(k-ln 2)+3(k-ln k)+5k, 易知k>ln k,k>ln 2,5k>0,所以h(x0)>0. 即存在x0=,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

(3)对任意给定的正数c,取x0=, 由(2)知,当x>0时,e>x,所以e=·>, 当x>x0时,e>>=x,

因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

(3)首先证明当x∈(0,+∞)时,恒有x

令h(x)=x-e,则h'(x)=x-e. 由(2)知,当x>0时,x

从而h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)内单调递减, 所以h(x)x0时,有x

因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x∈(x0,+∞)时,恒有x

8.(2014陕西,10,5分)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )

2

x

2

3

x3

x

2

x

3

x

2

x

3

x

2

x

x

2

x

2

x

2

x

2

x

x

2

22

x

x

2

2

x

2

xx

x

2

x

2

x

x

2

x

4