提分专练(四) 二次函数小综合
|类型1| 二次函数与方程(不等式)的综合
1.[2019·湖州]已知抛物线y=2x-4x+c与x轴有两个不同的交点. (1)求c的取值范围;
(2)若抛物线y=2x-4x+c经过点A(2,m)和点B(3,n),试比较m与n的大小,并说明理由.
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|类型2| 二次函数与直线的综合
2.[2018·苏州]如图T4-1,已知抛物线y=x-4与x轴交于点A,B(点A位于点B的左侧),C为顶点.直线y=x+m经过点A,与y轴交于点D. (1)求线段AD的长;
(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为C'.若新抛物线经过点D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线CC'平行于直线AD,求新抛物线对应的函数表达式.
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图T4-1
|类型3| 二次函数与几何图形的综合
3.[2019·长沙中考适应性考试一]如图T4-2,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB,O为坐标原
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点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°,得到△DOC,抛物线y=ax+bx+c经过点A,B,C. (1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t,设抛物线对称轴l与x轴交于点E,连接PE,交CD于点F,求以C,E,F为顶点的三角形与△COD相似时点P的坐标.
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图T4-2
4.[2019·连云港节选]如图T4-3,在平面直角坐标系xOy中,抛物线L1:y=x+bx+c过点C(0,-3),与抛物线
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L2:y=-2x2-2x+2的一个交点为A,且点A的横坐标为2,点P,Q分别是抛物线L1,L2上的动点.
(1)求抛物线L1对应的函数解析式;
(2)若以点A,C,P,Q为顶点的四边形恰为平行四边形,求出点P的坐标.
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图T4-3
5.[2019·长沙一模]如图T4-4,在平面直角坐标系中,直线y=2x-1与抛物线y=-12x+bx+c相交于A,B两点,点
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A在x轴上,点B的横坐标为-6,点P是抛物线上位于直线AB上方的一动点(不与点A,B重合).
(1)求该抛物线的解析式;
(2)连接PA,PB,在点P运动的过程中,是否存在某一位置,使得△PAB恰好是一个以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)过点P作PD∥y轴交直线AB于点D,以PD为直径的圆与直线AB相交于点G,求DG的最大值.
图T4-4
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【参考答案】
1.解:(1)∵抛物线y=2x-4x+c与x轴有两个不同的交点, ∴方程2x-4x+c=0有两个不相等的实数根, ∴Δ=(-4)-4×2×c>0, 解得c<2. (2)m 理由:∵抛物线的对称轴为直线x=-2 2=1, 且a=2>0,抛物线开口向上, ∴在抛物线对称轴的右侧,y随x的增大而增大. ∵2<3, ∴m 2.解:(1)令y=x-4=0,解得x1=2,x2=-2. ∵点A位于点B的左侧, ∴A(-2,0). ∵直线y=x+m经过点A, ∴-2+m=0, ∴m=2, ∴D(0,2), ∴AD= 2 2 =2 2. (2)∵新抛物线经过点D(0,2), ∴设新抛物线对应的函数表达式为y=x+bx+2, ∴y=x+bx+2=x+2+2-4. ∵直线CC'平行于直线AD,并且经过点C(0,-4), ∴直线CC'的函数表达式为y=x-4. ∴2-4=-2-4,整理得b-2b-24=0, 解得b1=-4,b2=6. ∴新抛物线对应的函数表达式为y=x-4x+2或y=x+6x+2. 3.解:(1)在Rt△AOB中,OA=1,tan∠BAO==3,∴OB=3OA=3. ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°得到的, 2 2 2 2 2 22 2 -4 2 2 2 2 4 ∴△DOC≌△AOB, ∴OC=OB=3,OD=OA=1. ∴点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,3),(-3,0),代入抛物线解析式, 0, -1, 得 9- 0,解得 -2, , , ∴抛物线的解析式为y=-x-2x+3. 2 (2)由(1)得抛物线的解析式为y=-x-2x+3,∴对称轴l为直线x=-=-1, ∴点E的坐标为(-1,0). ①当∠CEF=90°时,△CEF∽△COD,此时点P在对称轴上,即点P为抛物线的顶点,P(-1,4). ②当∠CFE=90°时,△CFE∽△COD,过点P作PM⊥x轴于点M,如图,易得△EFC∽△EMP, ∴===,∴MP=3ME. ∵点P的横坐标为t,∴P(t,-t-2t+3). ∵点P在第二象限,∴PM=-t-2t+3,ME=-1-t,∴-t-2t+3=3(-1-t), 解得t1=-2,t2=3(与点P在第二象限,横坐标小于0矛盾,舍去),∴t=-2. 当t=-2时,y=-(-2)-2×(-2)+3=3, ∴P(-2,3), ∴当以C,E,F为顶点的三角形与△COD相似时,点P的坐标为(-1,4)或(-2,3). 4.[解析](1)先求出点A的坐标,再用待定系数法求出抛物线L1的函数解析式即可; (2)设点P的坐标为(t,t-2t-3),分两种情况讨论:AC为平行四边形的一条边,AC为平行四边形的一条对角线.用t表示出Q点坐标,再把Q点坐标代入抛物线L2:y=-2x-2x+2中,列出方程求解即可. 解:(1)将x=2代入y=-x-x+2,得y=-3,故点A的坐标为(2,-3). 2 21 22 2 2 2 2 2 2 1 1 2 将A(2,-3),C(0,-3)代入y=x+bx+c, - 22 2 , -2,得 解得 - , - , ∴抛物线L1对应的函数解析式为y=x-2x-3. 2 2 5
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