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第七节 数学归纳法
知识点 数学归纳法
证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．
(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 易误提醒 运用数学归纳法应注意：
(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．
[自测练习]
1111
1．已知f(n)＝＋＋＋…＋2，则( )
nn＋1n＋2n11
A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 23111
B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋
23411
C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ 23111
D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 234
111
解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝＋＋，234故选D.
答案：D
1111
2．(2016·黄山质检)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝
234n＋1111
2?n＋2＋n＋4＋…＋2n?时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设??再证n＝( )时等式成立( )
A．k＋1 C．2k＋2
B．k＋2 D．2(k＋2)
解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k＋2，故选B. 答案：B
考点一 用数学归纳法证明等式|
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求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝
2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．
(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)． 当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2) ＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1) ＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1) ＝2k1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)． 这就是说当n＝k＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n∈N*，原等式成立．
1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1， 1×?1＋1?
右边＝(－1)0·＝1，
2∴原等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立， 即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k1·k2＝(－1)k那么，当n＝k＋1时，则有
－
－1
－
－1
＋
n?n＋1?
. 2
k?k＋1?
. 2
.*
12－22＋32－42＋…＋(－1)k1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)kk＋1
＝(－1)k·[－k＋2(k＋1)]
2?k＋1??k＋2?
＝(－1)k.
2∴n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)知对任意n∈N*，有
12－22＋32－42＋…＋(－1)n1·n2＝(－1)n
－
－1
－
－1
k?k＋1?
＋(－1)k·(k＋1)2 2
n?n＋1?
.考点二 用数学归纳法证明不等式| 2
设数列{an}各项均为正数，且满足an
＋1
＝an－a2n.
求证：对一切n≥2，都有an≤
1
. n＋2
[证明] ∵数列{an}各项均为正数，且满足an＋1＝an－a2n， ∴a2＝a1－a21>0，解得0 1?211?当n＝2时，a3＝a2－a22＝－a2－2?≤4，不等式成立， 4?1假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即ak≤， k＋2 1?21?21?1k＋1k＋11? －a－则当n＝k＋1时，ak＋1＝ak－a2＝－≤－＝ 2?4?k＋22??k＋2?2?k＋1??k＋3?＝4?1 ， ?k＋1?＋2 ∴当n＝k＋1时，不等式也成立， 1 由数学归纳法知，对一切n≥2，都有an≤. n＋2 .* an 2．数列{an}满足an＋1＝，a＝1. 2an＋11 ?1? (1)证明：数列?a?是等差数列； ?n? ?1?111n (2)求数列?a?的前n项和Sn，并证明：＋＋…＋>. S1S2Snn＋1?n? an 解：(1)证明：∵an＋1＝， 2an＋1∴即 2an＋111＝，化简得＝2＋， ananan＋1an＋111 1?1? －＝2，故数列?a?是以1为首项，2为公差的等差数列． ?n?an＋1an n?1＋2n－1?21 (2)由(1)知＝2n－1，∴Sn＝＝n. an2 1111111111 1－?＋证明：法一：＋＋…＋＝2＋2＋…＋2>＋＋…＋＝?S1S2Sn12n1×22×3n?n＋1??2? ?1－1?＋…＋?1－1?＝1－1＝n. ?23??nn＋1?n＋1n＋1 1n1 法二：(数学归纳法)当n＝1时，＝1，＝，不等式成立． S1n＋12111k 假设当n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋>. S1S2Skk＋1 k＋11111k1k1 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋>＋，又＋－＝1－ S1S2SkSk＋1k＋1?k＋1?2?k＋1??k＋1?2k＋21111k1 ＋－1＋＝－＝>0， k＋1?k＋1?2k＋2k＋2?k＋1?2?k＋2??k＋1?2 1111k＋1 ∴＋＋…＋＋>， S1S2SkSk＋1k＋2∴原不等式成立． 考点三 归纳—猜想—证明问题| .* 将正整数作如下分组：(1)，(2,3)， (4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1的结果，并用数学归纳法证明． S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， … [解] 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14； 当n＝2时，S1＋S3＝16＝24； 当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34； 当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44. 猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4. 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4， 那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．
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