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专题层级快练(三十四)

1.已知向量a＝(1,sinθ),b＝(1,cosθ),则|a－b|的最大值为( ) A.1 C.3 【参考答案】：B

【试题解析】：∵a＝(1,sinθ),b＝(1,cosθ),∴a－b＝(0,sinθ－cosθ). ∴|a－b|＝02＋（sinθ－cosθ）2＝1－sin2θ. ∴|a－b|最大值为2.故选B.

2.(2019·潍坊二模)设a,b是非零向量,若函数f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线,则必有( )

A.a⊥b C.|a|＝|b| 【参考答案】：A

【试题解析】：f(x)＝(xa＋b)·(a－xb)的图像是一条直线,即f(x)的表达式是关于x的一次函数或常函数.而(xa＋b)·(a－xb)＝－x2a·b＋(a2－b2)x＋a·b,故a·b＝0,即a⊥b,故应选A. →→→

3.已知A,B是圆心为C,半径为5的圆上两点,且|AB|＝5,则AC·CB等于( ) 5A.－

2C.0

【参考答案】：A

→→→→→【试题解析】：由于弦长|AB|＝5与半径相同,则∠ACB＝60°?AC·CB＝－CA·CB＝－|CA5→

|·|CB|·cos∠ACB＝－5·5·cos60°＝－. 2

→→→→→

4.(2019·保定模拟)若O是△ABC所在平面内一点,且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 【参考答案】：B

→→→→→→→→→→→→→→【试题解析】：OB＋OC－2OA＝OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC,OB－OC＝CB＝AB－AC,→→→→→→→→→→

∴|AB＋AC|＝|AB－AC|?|AB＋AC|2＝|AB－AC|2?AB·AC＝0,∴三角形为直角三角形,故选B.

B.直角三角形 D.等边三角形 5B. 253D.

2B.a∥b D.|a|≠|b| B.2 D.2

→→

5.(2015·山东,理)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°,则BD·CD＝( ) 3

A.－a2

23

C.a2 4

【参考答案】：D

→→→→→→→→→→【试题解析】：在菱形ABCD中,BA＝CD,BD＝BA＋BC,所以BD·CD＝(BA＋BC)·CD＝13→→→→

BA·CD＋BC·CD＝a2＋a×a×cos60°＝a2＋a2＝a2.

22

→→→→→

6.(2019·银川调研)若平面四边形ABCD满足AB＋CD＝0,(AB－AD)·AC＝0,则该四边形一定是( ) A.直角梯形 C.菱形 【参考答案】：C

→→→→→【试题解析】：由AB＋CD＝0得平面四边形ABCD是平行四边形,由(AB－AD)·AC＝0得→→

DB·AC＝0,故平行四边形的对角线垂直,所以该四边形一定是菱形,故选C. →→→→→

7.如图所示,在△ABC中,AD⊥AB,BC＝3 BD,|AD|＝1,则AC·AD＝( )

B.矩形 D.正方形 3B.－a2

43D.a2 2

A.23 C.3 3

B.3 2

D.3

【参考答案】：D

→→→→→→→→→→→→→【试题解析】：AC·AD＝(AB＋BC)·AD＝AB·AD＋BC·AD＝BC·AD＝3 BD·AD＝3→→→

|BD||AD|cos∠BDA＝3|AD|2＝3.

→→→

8.在△ABC中,BC＝a,CA＝b,AB＝c,且a·b＝b·c＝c·a,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形 【参考答案】：D

【试题解析】：因为a,b,c均为非零向量,且a·b＝b·c,得b·(a－c)＝0?b⊥(a－c). 又a＋b＋c＝0?b＝－(a＋c),∴[－(a＋c)]·(a－c)＝0?a2＝c2,得|a|＝|c|. 同理|b|＝|a|,∴|a|＝|b|＝|c|.

B.直角三角形 D.等边三角形