第2课时 排列的综合应用
无限制条件的排列问题
(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的
送法？
(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ [解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是：A35＝5×4×3＝60，所以，共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的1本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是：5×5×5＝125，所以，共有125种不同的送法．
本题两小题的区别在于：第(1)小题是从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第(2)小题中，给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
解析：问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A310＝10×9×8＝720.
答案：720
元素“在”与“不在”问题 [学生用书P13]
用0，1，2，3，4，5这六个数字 (1)可以组成多少个数字不重复的三位数？ (2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？ (3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？ [解] (1)分三步：
①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法．
由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100个．
(2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法．
故所求三位数共有5×6×6＝180个．
(3)分三步：①先选个位数字，有3种选法；②再选百位数字，有4种选法；③选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有3×4×4＝48个．
1．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．
2．从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在剩余位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置．注意：无论从元素考虑还是从位置考虑，都要贯彻到底，不能既考虑元素又考虑位置．
2．(1)从a，b，c，d，e五人中选2人分别参加数学和物理竞赛，但a不能参加物理竞赛，则不同的选法有( )
A．16种 B．12种 C．20种 D．10种 解析：选A.先选一人参加物理竞赛有A14种方法，再从剩下的4人中选1人参加数学竞
11
赛，有A14种方法，共有A4·A4＝16种方法．
(2)六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ ①甲不站两端； ②甲、乙站在两端；
③甲不站左端，乙不站右端．
解：①法一：要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有A14种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有A55种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法
5
A14·A5＝480种．
法二：由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有A25种站法，
24
然后其余4人有A44种站法，根据分步乘法计数原理，共有站法A5·A4＝480种．
5
法三：若对甲没有限制条件共有A66种站法，甲在两端共有2A5种站法，从总数中减去
5
这两种情况的排列数，即得所求的站法数，共有A66－2A5＝480种．
②首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A22种，再让其他4人在中间位置作全排列，
24
有A44种，根据分步乘法计数原理，共有A2·A4＝48种站法．
5
③法一：甲在左端的站法有A55种，乙在右端的站法有A5种，且甲在左端而乙在右端的
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站法有A44种，共有A6－2A5＋A4＝504种站法．
法二：以元素甲分类可分为两类：a.甲站右端有A55种，b.甲在中间4个位置之一，而乙
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不在右端有A14·A4·A4种，故共有A5＋A4·A4·A4＝504种站法．
元素“相邻”与“不相邻”问题 [学生用书P13]
3名男生、4名女生按照不同的要求排队，求不同的排队方法的种数． (1)全体站成一排，男、女各站在一起； (2)全体站成一排，男生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生不能站在一起； (4)全体站成一排，男、女各不相邻．
[解] (1)男生必须站在一起是男生的全排列，有A33种排法； 女生必须站在一起是女生的全排列，有A44种排法； 全体男生、女生各视为一个元素，有A22种排法．
42
由分步计数原理知，共有A33·A4·A2＝288种排队方法． (2)三个男生全排列有A33种方法，把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素
35
全排列，有A55种排法．故有A3·A5＝720种排队方法．
(3)先安排女生，共有A4男生在4个女生隔成的五个空中安排，共有A3 4种排法；5种排法，
3
故共有A44·A5＝1 440种排法． (4)排好男生后让女生插空，
4
共有A33·A4＝144种排法．
处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．
3．(1)六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为( )
A．A4B．A34 6
3
C．A4D．A3 6
解析：选A.把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共4个元素全排列．故选A.
(2)某次文艺晚会上共演出8个节目，其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目，求分别满足下列条件的节目编排方法有多少种？
①一个唱歌节目开头，另一个放在最后压台； ②2个唱歌节目互不相邻；
③2个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻． 解：①先排唱歌节目有A2再排其他节目有A6所以共有A2A62种排法，6种排法，2·6＝1 440种排法．
②先排3个舞蹈节目和3个曲艺节目有A66种排法，再从其中7个空(包括两端)中选2
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个排唱歌节目，有A27种插入方法，所以共有A6·A7＝30 240种排法．
③把2个相邻的唱歌节目看作一个元素，与3个曲艺节目排列共A44种排法，再将3个
2
舞蹈节目插入，共有A35种插入方法，最后将2个唱歌节目互换位置，有A2种排法，故所求
32
排法共有A44·A5·A2＝2 880种排法．
重复计数与遗漏计数而致误 易错警示 3名男生和3名女生站成一排，任何2名男生都不相邻，任何2名女生也不相邻，
共有多少种排法？
3
[解] 第一步，3名男生站成一排，有A3种排法；
第二步，插入女生，女生只能插入3名男生形成的前3个空或后3个空中，有2A33种插法．
3
由分步乘法计数原理知共有2A33·A3＝72种排法．
[错因与防范] (1)解答本题错解为先让3名男生站成一排，有A33种排法；再让3名女
生插入3名男生形成的4个空中，有A34种插法．
3
由分步乘法计数原理，共有A33A4＝144种不同的排法．
此解法只能保证女生不相邻，并不能保证先排的男生不相邻，如排法：女男女男男女． (2)解答排列问题中常见的基本方法 ①对于有特殊元素或特殊位置的排列，一般采用“直接法”，即先排特殊元素或特殊位置．
②对于某些元素必须相邻的排列，通常采用“捆绑法”，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列．
③对于某些元素不相邻的排列，通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插入这些元素排列的空当中．
④对于某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制进行排列，然后利用间接法求结果．
⑤对于需要分类讨论的排列应用题，应正确分类，在每一次分类时，一定要做到不重不漏．
4．(2014·高考北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．
4
解析：产品A，B相邻时，不同的摆法有A22×A4＝48种．而A，B相邻，A，C也相邻
3
时的摆法为A在中间，C，B在A的两侧，不同摆法的种数有A22×A3＝12.
故产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的不同摆法的种数为48－12＝36. 答案：36
1．用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有( ) A．48个 B．64个 C．72个 D．90个
4
解析：选C.满足条件的五位偶数有A13·A4＝72.故选C. 2．(2014·高考辽宁卷)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120 C．72 D．24
解析：选D.先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A34＝24种放法，故选D.
3．用1，2，3，4，5，6，7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
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解析：先排奇数位有A44种，再排偶数位有A3种，故共有A4A3＝144个． 答案：144 4．(2015·莆田高二检测)两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
解析：分3步进行分析，
①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A22＝2种排法，
②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A22＝2种排法，
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