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板块一.函数的单调性
典例分析
1.定义法
题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。
2x在区间(0,1)上的单调性． x?1【例1】 试用函数单调性的定义判断函数f(x)?
【例2】 证明函数y?x3在定义域上是增函数．
【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数f(x)??x3?1在(??,??)上是减函数．
【例4】 证明函数f(x)??x在定义域上是减函数．
【例5】 讨论函数f(x)?x(?1?x?1)的单调性． x2?1
【例6】 求函数f(x)=x+
1的单调区间。 x
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a【例7】 求证:函数f(x)?x?(a?0)在(a,??)上是增函数.
x 【例8】 （2001春季北京、安徽，12）设函数f（x）＝
x?a（a＞b＞0），求f（x）的x?b单调区间，并证明f（x）在其单调区间上的单调性。
exa?x是R上的偶函数。 【例9】 （2001天津，19）设a?0，f(x)?ae（1）求a的值；（2）证明f(x)在(0,??)上为增函数。
【例10】 已知f(x)是定义在R上的增函数，对x∈R有f(x)>0，且f(5)=1，设F(x)=
f(x)+
1，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。 f(x)【例11】 已知函数f(x)对任意实数x，y均有f(x?y)?f(x)?f(y)．且当x＞0时，
f(x)?0，试判断f(x)的单调性，并说明理由．
【例12】 已知给定函数f(x)对于任意正数x，y都有f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(x)≠0，
当x?1时，f(x)?1．试判断f(x)在(0,??)上的单调性，并说明理由．
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2.图象法
【例13】 如图是定义在区间[?5,5]上的函数y?f(x)，根据图象说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？
y32-2-5-4-3-1O1-1-212345xy=f (x)
【例14】 求函数y?1?2x?2?x的单调减区间
【例15】 求下列函数的单调区间：
1⑴ y?|x?1|；⑵ y?x?（x?0）．
x
【例16】 求下列函数的单调区间：
⑴y?|x?1|?|2x?4|；⑵ y??x2?2|x|?3
【例17】 作出函数y?|x2?x|的图象，并结合图象写出它的单调区间．
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【例18】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1）y??x2?2|x|?1 （2）y?|?x2?2x?3|
3.求复合函数的单调区间
x2【例19】 函数y?（x?R，x≠1）的递增区间是（ ）
x?1A．x≥2
B．x≤0或x≥2 C．x≤0 D．x≤1?2或x≥2 ???上是减函数，求f1?x2单调增区间。 【例20】 已知y?f?x?是偶数，且在?0，??
【例21】 求函数y?1的单调区间．
x?x?22
【例22】 讨论函数y?x2?2x?3的单调性．
【例23】 求函数f(x)?㏒0.5(x2?8x?7)的单调区间
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【例24】 （1）求函数y?log0.7(x2?3x?2)的单调区间；
（2）已知f(x)?8?2x?x2,若g(x)?f(2?x2)试确定g(x)的单调区间和单调性。
题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围
【例25】 设函数f(x)?(2a?1)x?b是R上的减函数，则a的范围为( )
A．a?
1 2 B．a?1 21 C．a??
2D．a?1 2【例26】 函数y?x2?bx?c(x?[0,??))是单调函数的充要条件是( )
A．b?0 B．b?0
【例27】 已知f(x)? C．b?0 D．b?0
a?(ax?a?x)（a?0且a≠1）是R上的增函数．则实数a的取值a?22范围是（ ）． A．(0，1) C．
【例28】 设a是实数，f(x)?a?
B．(0，1)U?2，??
?2，??
?D．(0，1)U???2，???
2(x?R)， 2?1⑴试证明对于任意a，f(x)为增函数；
x⑵试确定a值，使f(x)为奇函数．
【例29】 设定义域为R上的函数f(x)既是单调函数又是奇函数，若
2 f?klog2t??f?log2t?log2t?2??0对一切正实数t成立，求实数k的取值范围。
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