梯形中的辅助线
我们先欣赏一则《皮货老板的广告》的故事：某偏僻城镇有一家皮货商店,平日生意萧条,老板很是着急.于是就跟一位朋友商量如何让自己的生意红火起来.几天后,他在自己的商店门口挂起一块皮料,将一部分涂上颜色,并且在皮料的旁边贴上一张醒目的广告“这块等腰梯形皮料的上底是40厘米,下底是60厘米,如果哪位聪明的顾客能一下说出,皮料上涂有颜色部分的面积,就可以在本店任意选购名贵皮衣一件,半价优惠.”（皮料如图⑴示）
消息一经传出,轰动一时,当然很多顾客被吸引过来.这样给皮货店带来了无限商机.但是一直没有人能说出这皮料上涂有颜色部分的面积是多少.
后来,这难题想不到被一个中学生很轻松的的解决了,皮货老板很有诚意得说：“小朋友,真不简单！你就选一款皮衣吧！”这位同学却连声说：“不用,不用！其实这题很简单,用我们现在学的数学知识就可以解决!”说完就走了.他只是简单的作了两条辅助线如图⑵,你知道他是怎么解决此问题的呢? 从这个故事可看出:巧添梯形中的辅助线是解决梯形问题的简捷途径!辅助线给你创造新的条件,为你架起了思维的桥梁,帮你将较“难”的梯形问题转化为较“易”解决的三角形、平行四边形的问题去解决.鉴于此,我们有必要系统归纳一下梯形中的常见辅助线,以便于更好的解决梯形问题.
常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为△和□;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点,就把中位线细心连;上述方法不奏效,过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为□和△.基本图形如下:
1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．
【例1】 已知：如图2,在梯形ABCD中,.求证：.
分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.
证明：过D作 ,交AB于E.
∵ AB平行于CD,且 ,
∴四边形 是菱形.
∴
又
∴ 为等边三角形.
∴
又 ,
∴
∴.
【例2】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC , E、F 分别是AD 、BC 的中点,若= 15 ,求EF ．
.AD = 7 ,BC
分析：由条件中线．
,我们通过平移AB 、DC ；构造直角三角形MEN ,使EF 恰好是△MEN 的
解：过E 作EM∥AB ,EN ∥DC ,分别交BC 于M 、N ,∵ ,
∴
∴ 是直角三角形,∵ , ,
∴ .
∵ 、 分别是 、 的中点,
∴ 为 的中点,∴ .
2.延长梯形的两腰,使它们交于一点,可得到两个相似三角形或等腰三角形、直角三角形等进一步解决问题．
【例3】.如图,在梯形积相等．求证：
中,
.
, ,梯形 的面积与梯形 的面
分析：条件是两个梯形的面积相等,而结论是三线段长的平方关系,如果延长两腰交于一点,就可得到三个相似的三角形,再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形就可得出结论．
证明：延长 、 使它们相交于 点,
∵ ,
∴
∴
.
同理,
∵
故得
∴
3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．
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