专题69 绝对值不等式的解法-备战2021年高考数学(理)一轮复习考点通

专题69 绝对值不等式的解法

基础知识要夯实

1.绝对值三角不等式

定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；

定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 |x|a a>0 {x|－aa或x<－a} a＝0 ? {x|x∈R且x≠0} a<0 ? R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c.

3.|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想. 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想.

法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. [微点提醒]

1.在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.

2.绝对值三角不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值.绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.

基本技能要落实

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.( ) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为?.( )

(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当a＞b＞0时等号成立.( ) (4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立.( )

(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√

2.(选修4－5P19习题T9改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|，存在实数解，则实数a的取值范围是________.

答案 (－∞，－3]∪[3，＋∞)

解析 由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， ∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使原不等式有解， 只需|a|≥3，即a≥3或a≤－3.

3.(选修4－5P20习题T7改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为( ) A.[－2，1)∪[4，7) B.(－2，1]∪(4，7] C.(－2，－1]∪[4，7) 答案 D

D.(－2，1]∪[4，7)

?|2x?5|?9,??9?2x?5?9,解析 由题意得?即?

|2x?5|?3,2x?5?3或2x?5??3??解得???2?x?7,不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．

?x?4或x?1,

4.(2019·南阳第一中学月考)不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是( ) A.[－5，7]

B.[－4，6] D.(－∞，＋∞)

C.(－∞，－5]∪[7，＋∞)

解析 |x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1?原不等式的解集为R，故选D. 答案 D

5.(2019·榆林二模)已知函数f(x)＝|x－2|. (1)求不等式f(x)＋x2－4>0的解集；

(2)设g(x)＝－|x＋7|＋3m，若关于x的不等式f(x)0，解得x>2， 当x<2时，不等式等价于2－x＋x2－4>0，解得x<－1. 综上，原不等式的解集为{x|x>2或x<－1}. (2)问题等价于|x－2|＋|x＋7|<3m的解集非空， ∵|x－2|＋|x＋7|≥|x－2－x－7|＝9，

∴3m>9，∴m>3.

故实数m的取值范围是(3，＋∞).

典型例题剖析

考点一 绝对值不等式的解法

【例1－1】 (2018·全国Ⅰ卷)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；

(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围. 【解析】(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，

??2,x??1,?即f(x)＝?2x,?1?x?1,

?2,x?1.?则当x≥1时，f(x)＝2>1恒成立，所以x≥1； 当－11，所以当x≤－1时，f(x)＝－2<1. 故不等式f(x)>1的解集为?x|x?1x成立等价于当x∈(0，1)时|ax－1|<1成立. 若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1； 若a>0，|ax－1|<1的解集为?x|0?x?所以

??2??， a?2≥1，故0

【例1－2】 (2019·邯郸一模)已知函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3. (1)求不等式f(x)≤2的解集；

(2)若直线y＝kx－2与函数f(x)的图象有公共点，求k的取值范围.

?1?x?4,?x?4,?x?1,解 (1)由f(x)≤2，得?或?或?

0?22x?8,2?2x?2???解得0≤x≤5，故不等式f(x)≤2的解集为[0，5].

?2?2x,x?1,?(2)f(x)＝|x－4|＋|x－1|－3＝?0,1?x?4,

?2x?8,x?4?作出函数f(x)的图象，如图所示，

直线y＝kx－2过定点C(0，－2)， 当此直线经过点B(4，0)时，k＝

1； 2当此直线与直线AD平行时，k＝－2.

???. 故由图可知，k∈(－∞，－2)∪?，规律方法 解绝对值不等式的基本方法

(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．

(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式． (3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解． 考点二 绝对值不等式性质的应用

【例2】 (1)若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值. (2)若a≥2，x∈R，证明：|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

【解析】(1)由|2x＋3y＋1|＝|2(x－1)＋3(y＋1)|≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，得|2x＋3y＋1|的最大值为7.

(2)证明 因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|(x－1＋a)－(x－a)|＝|2a－1|，又a≥2，故|2a－1|≥3，即|x－1＋a|＋|x－a|≥3成立.

规律方法 绝对值不等式性质的应用

利用不等式|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)和|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R)，通过确定适当的a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可以证明不等式． 考点三 绝对值不等式的综合应用

【例3－1】 (2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|. (1)画出y＝f(x)的图象；

(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.

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