概率论与数理统计02(1)

225?22 (1)P(X?2)?C5pq?C5?(0.1)2?(0.9)3?0.0729?

345 (2)P(X?3)?C5?(0.1)3?(0.9)2?C5?(0.1)4?(0.9)?C5?(0.1)5 0.00856?

012 (3)P(X?3)?C5(0.9)5?C5?0.1?(0.9)4?C5?(0.1)2?(0.9)3

3 ?C5?(0.1)3?(0.9)2?0.99954? (4) P(X?1)?1?P(X?0)?1?0?59049?0?40951?

7? 设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3? 当A发生不少于3次时指示灯发出信号?

(1)进行了5次独立试验? 求指示灯发生信号的概率? (2)进行了7次独立试验? 求指示灯发出信号的概率? 解? 记X表示事件A发生的次数?

(1)X~b(5? 0.3)? 指示灯发出信号的概率为

P(X?3)??C5k(0.3)k(0.7)5?k?0.163?

k?35 (2)X~b(7? 0.3)? 指示灯发出信号的概率为 P(X?3)??C7k(0.3)k(0.7)5?k?0.353?

k?37

8? 甲? 乙二人投篮? 投中的概率各为0.6, 0.7? 今各投3次? 求? (1)两人投中次数相等的概率? (2)甲比乙投中次数多的概率?

解? 记X表甲三次投篮中投中的次数? Y表乙三次投篮中投中的次数? 则X~b(3? 0.6)? Y~b(3? 0.7)?

(1) P(X?Y)?P(X?0, Y?0)+P(X?2, Y?2)+P(X?3, Y?3) ?P(X?0)P(Y?0)+P(X?1)P(Y?1) +P(X?2)P(Y?2)+P(X?3)P(Y?3)

11 ?(0.4)3?(0.3)3?[C3?0.6?(0.4)2]?[C3?0.7?(0.3)2]

22 ?[C3?(0.6)2?0.4]?[C3?(0.7)2?.3]?(0.6)3?(0.7)3 ?0?321?

(2) P(X?Y)?P(X?1, Y?0)+P(X?2, Y?0)+P(X?2, Y?1)

+P(X?3)P(Y?0)+P(X?3)P(Y?1)+P(X?3)P(Y?2) ?P(X?1)P(Y?0)+P(X?2, Y?0)+P(X?2, Y?1)

+P(X?3)P(Y?0)+P(X?3)P(Y?1)+P(X?3)P(Y?2)

12 ?[C3?0.6?(0.4)2]?(0.3)3?[C3?(0.6)2?0.4]?(0.3)8

21 ?[C3?(0.6)2?0.4]?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3?(0.3)3

12 ?(0.6)3?[C3?0.7?(0.3)2]?(0.6)3?[C3?(0.7)2?0.3] ?0?243?

9? 有一大批产品? 其验收方案如下? 先作第一次检验? 从中任取10件? 经验收无次品接受这批产品? 次品数大于2拒收? 否则作第二次检验? 其做法是从中任取5件? 仅当5件中无次品时接受这批产品? 若产品的次品率为10%? 求? (1)这批产品经第一次检验就能接受的概率? (2)需作第二次检验的概率?

(3)这批产品按第二次检验的标准被接受的概率?

(4)这批产品在第一次检验未能做决定且第二次检验时被通

过的概率?

(5)这批产品被接受的概率?

解? X表示10件中次品的个数? Y表示5件中次品的个数? 由于产品总数很大? 故X~B(10? 0.1)? Y~B(5? 0.1)(近似服从)? 于是

(1) P(X?0)?0.910?0.349?

21 (2) P(X?2)?P(X?2)+P(X?1)?C100.120.98?C100.10.99?0.581? (3) P(Y?0)?0.95?0.590?

(4) P(0?X?2? Y?0)?P(0?X?2)P(Y?0) ((0?X?2)与(Y?2)独立) ?0.581×0.590?0.343?

(5) P(X?0)+P(0?X?2? Y?0)?0.349+0.343?0.692?

10? 有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4杯? 如果从中挑4杯? 能将甲种酒全部挑出来? 算是试验成功一次? (1)某人随机地去猜? 问他试验成功一次的概率是多少？ (2)某人声称他通过品尝能区分两种酒? 他连续试验10次? 成功3次? 试推断他是猜对的? 还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的)?

解? (1)P(一次成功)?4?3?2?1?1?

876570 (2)用X表示试验成功的次数?如果他是猜的? 则 X~b(10, 1)?

70连续试验10次? 成功3次的概率为

313()(1?1)7?3? p?C10707010000 由于p非学小? 按常理推断? 他确有区分能力?

11? 尽管在几何教科书中已经讲过用圆轨和直尺三等分一个任意角是不可能的? 但每年总有一些“发明者”撰写关于用圆轨和直尺将角三等分的文章? 设某地区每年撰写此类文章的篇数X服从参数为6的泊松分布? 求明年没有此类文章的概率? 解? 由题意

k? P(X?k)?e?? (??6? k?0? 1? 2? ??? )? k!故 P(X?0)?e?6?0.0025?

12? 一电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从参数为4的泊松分布? 求?

(1)每分钟恰有8次呼唤的概率? (2)每分钟呼唤次数大于10的概率?

解? 用X表示每分钟收到呼唤的次数? 则

k4 P(X?k)?e?4(k?0? 1? 2? ??? )? k!84 (1)P(X?8)?e?4?0.0298(直接计算)? 8!?k4 (2)P(X?10)??e?4?0.00284? k?11k!

13? 某一公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布? 而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)?

(1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率?

(2)求某一天午12时至下午5时至少收到1次紧呼救的概率

?

解? 由题意知

(1t)k?1t P(X?k)?2e2?

k (1)P(X?0)?e?

(2)P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?

14? (1)设X服从(0?1)分布? 其分布律为P(X?k)?pk(1?p)1?k(k?0? 1)? 求X的分布函数? 并作出其图形? (2)求第1题中的随机变量的分布函数? 解? 按分布函数定义? 有

F(x)?P(X?x)??P(X?xk)?

xk?x?32?52 当x?0时? F(x)?0? 当0?x?1时F(x)?1?p? 当x?1时? F(x)?1? 综合起来得

0x?0?? F(x)??1?p0?x?1?

?x?1?1 (2)因X的分布律为

X 3 4 5 1 3 6 pk 101010

故X的分布函数为