a1c2?cnb2a2?bn（空白处全为0）
?an分析：这个行列式中含有很多的零，但零的个数没有多到可以直接用定义法简化所有的项的和，但观察行列式会发现除第一行和第一列外，其余各行各列都只含有两个元素，且在对角线下方，只有第一列元素不为零，故只要能把第一列中ci(i?2,?,n)变为零就可化为三角形。
解：当ai?0时,(i?2,3...n)将Dn的第i列乘以?a1??i?2nci加到第一列，则得 aiD?0...0biciaib2a2...bn
ann ?a2?a3...an(a1??i?1bici) ai当某一个ai?0时，比如an?0，则把Dn按第n列展开，可得
c2D?(?1)n?1a2?(?1)2n?1bna2...an?1cn??bna2a3?an?1cn
bn?......cnan?10（4）逐行（或列）相加（减）法。有的行列式的行（列）乘的适当的倍数，逐行（列）相加（减）后，可化为前面的几种形式，进而化为三角形或直接化为三角形。
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?a10a1?a20?010a2?01????000?1000?an1例13：计算
0?01?a3?
??an分析：乍看行列式和前面的提公因式法的例题相似，但细看便会发现它们的不同，这个行列式前n行的和虽然都相同，但却是零，用提公因式法就没有作用了，同时我们也可以看出，对角线上方的元素要全部化为零是比较容易实现的，故此题我们用逐列相加的方法。
解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得
?a10D?0?010?a20?0200??000?000?0n?1?(?1)2n?2(n?1)a1a2?an?(n?1)a1a2?an
?a3??03???an?n1111121xxx321xx4321x?n?n?1?n?2?n?3?1?例14：计算
?????分析：观察行列式的特点，主对角线上方的元素按列（行）成等差数列，而主对角线下方的元素按行（列）成常数列，故用逐行（列）相加法后，可使一部分元素变为零，而一部分全变为相同的，从而更有利于化为三角形。一般的，若行列式对角线两侧的元素有一定的规律，如：成等差数列，成等比数列或相等时，用逐行（列）相加法可
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使行列式变的简单易算。
解：从D的第二行起，每行乘以（－1）后加到上一行，则得
00D??0111?x?0x110x110x??11?x111111?x?0111?x?01110???111?111 ?1??????(?1)n?10?1?x???1?x从第一行开始，每行都减去下一行，又得
x1?xD?(?1)n?1?000x000000???00?x00??(?1)n?1xn?2 01????1?x以上的四种方法都是利用化三角形的方法来解求行列式，由定义法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于对角线上元素相乘时要注意前面的符号，为了书写结果简单，通常我们愿意利用主对角线元素的乘积来表示结果，但若化为次对角线乘积更简便的方法，只要注意结果的符号，化为次对角线元素的乘积也是完全正确可行的。
2、降阶法 （按行（列）展开法）
降阶法与行列式按行（列）展开类似，使高阶行列式用低阶行列式来表示，逐步简化行列式的计算。
设Dn?aij为n阶行列式，根据行列式的按行（列）展开定理有
Dn?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin?i?1,2,?,n?
或 Dn?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj?j?1,2,?,n?
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其中Aij为Dn中的元素aij的代数余子式
按行（列）展开法可以将一个n阶行列式化为n个n?1阶行列式计算。若继续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。但一般情况下，按行（列）展开并不能减少计算量，仅当行列式中某一行（列）含有较多零元素时，它才能发挥真正的作用。因此，应用按行（列）展开法时，应利用行列式的性质将某一行（列）化为有较多的零元素，再按该行（列）展开。
例15：计算行列式
x00g0ab0y00cz0hku000cdf。 lv 解：设原行列式为D5，按第五行展开得:
xab0D5?v(?1)5?50y000cz0ghkuxab?uv(?1)4?40y0?yuv(?1)0cz2?2xb0z?xyzuv
例16：计算20阶行列式
12D20?3?212?321??181920?171819?161718
?3?2?1201918?分析：这个行列式中没有一个零元素，若直接应用按行（列）展开法
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