人教版九年级数学上册22.3.1 二次函数与图形面积问题教学设计

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第二十二章 二次函数 22.3 实际问题与二次函数

第1课时 二次函数与图形面积问题

课题 第1课时 二次函数与图形面积问题 知识技能 教 学 目 标 数学思考 问题解决 情感态度 授课人 1.通过图形的面积关系列出函数解析式； 2.用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题. 对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题. 通过实际问题与二次函数的关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）的方法. 体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学 重点 教学 难点 授课 类型 教具 教学 步骤 用二次函数的知识分析解决有关面积问题的实际问题 通过图形的面积关系列出函数解析式 新授课 课时 多媒体 教学活动 师生活动 设计意图 1 / 5

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回顾 1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10. 2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少. 师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评. 提示：求解二次函数的最值可以选择两种方法： 一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解. （1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6. （2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6. 通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课做铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持. （续表）

【课堂引入】 问题：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？ 师生活动： 1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量； 2.教师设问，如何用令l的代数式表示邻边的长度； 3.学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性； 4.针对问题要求进行求解，并回答问题. 教师关注： 1.学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式； 2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值. 1.探究新知 活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程. 师生活动： （1）确定解题的步骤：先表示矩形的长和宽，再利用面积公式列解析式，最后求最值. （2）解答过程：矩形的一边长为l m，则另一边长为（30－l）m， 所以场地的面积S＝l（30－l）＝－l2＋30l（0

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4ac－b2b当l＝－＝15时，S有最大值＝225. 2a4a也就是说，当l是15 m时，场地的面积S最大. 2.师生总结 教师指导学生总结解答问题的步骤和方法，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路： ①表示与面积相关的量； ②利用面积公式列函数解析式，并进行整理； ③确定自变量的取值范围； ④利用公式求出最值. 【应用举例】 图22－3－8 例1 如图22－3－8，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD. 应用举例是对于课题设AB边的长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）1之间的函数解析式为 y＝－x2＋15x （不要求写出2活动 三： 开放 训练 体现 应用 自变量x的取值范围）. 师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评. 教师引导学生阐述解答过程： （1）用含x的代数式表示出AD的长度； （2）利用矩形的面积公式列出函数解析式. 【拓展提升】 学习的针对性练习. 拓展提升是对于基础知识的提高和应用，培养 图22－3－9 例2 如图22－3－9，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？ （续表）

活动 三： 师生活动：学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路. 3 / 5

学生实际应用能力，提升思维能力. 人教版九年级数学上册22.3.1 二次函数与图形面积问题教学设计

开放 训练 体现 应用 教师做好总结和展示： 设AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面积为y. 根据题意，得y＝1－2x（1－x）. 整理，得y＝2x2－2x＋1， 所以当x＝0.5时，正方形EFGH的面积最小为0.5， 即当点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小. 【达标测评】 1.给你一根长为8 m的铁丝，用它围成一个矩形方框，当这个矩形的长为 2 m 时，矩形的面积最大. 2.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成.若设花园的宽为x m，花园的面积为y m2. （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； （2）根据（1）中求得的函数解析式，描述其图象的 针对本课时的主要问变化趋势，并结合题意判断，当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、 了解课堂学习效果的目活动 四： 课堂 总结 反思 图22－3－10 3.如图22－3－10所示，要建一个长方形的养鸡场，的. 鸡场的一边靠墙，计划用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设养鸡场的长为x m. （1）要使养鸡场的面积最大，养鸡场的长应为多少米？ （2）如果中间有n道篱笆隔墙，要使养鸡场的面积最大，养鸡场的长应为多少米？比较（1）（2）的结果，你能得到什么结论？ 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解. 1.课堂总结： 谈一谈你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？还有哪些困惑？ 教师强调：利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法. 2.布置作业： 教材第52页习题22.3第4，6题. 【知识网络】 小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力. 提纲挈领，重点突出 4 / 5

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（续表）

【教学反思】 ①[授课流程反思] 在创设情境和探究新知环节中，利用实际问题激发学生的求知欲，渗透转化思想，把知识回归生活，又从生活走出来，使学生乐学、好学；通过层层设疑、由易到难，符合学生的认知水平和认知规律，引导学生不断思考、积极探索. ②[讲授效果反思] 教师提醒学生注意：（1）一般地，面积问题中常把面积作为函数，边长作为自变量；（2）确定自变量的取值范围是解答问题的注意点；（3）求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式. ③[师生互动反思] 从课堂发言和检测来看，学生能够积极发言、小组讨论富有实效，能够把知识进行化归，建立函数模型. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 活动 四： 课堂 总结 反思 反思教学过程和教师表现，进一步提升操作流程和自身素质.

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