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从化六中高二级数学知识应用竞赛试卷
（考试时间：120分钟 全卷满分：100分）
题 号 得 分 一 二 三 （9） （10） （11） （12） 合 计 一、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内． （1）某商店出售一种商品，每天能售出200件，每件能获利30元。据市场调查分析，当这
种商品中的每一件每降价1元时，每天可以多售出10件，为使每天获利最多，则这种商品中的每一件应降价（ ）
（A）3元 （B）5元 （C）8元 （D）10元
（2）我国首航员杨利伟乘坐的“神舟五号”载人宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F为
一个焦点的椭圆，近地点A距地面为m公里，远地点B距地面为n公里．若地球的半径为R公里，则飞船运行轨道的短轴长为
(A) mn (B) 2(m?R)(n?R) (C) 2nm (D) (m?R)(n?R)
（3）平面上有二个向量e1＝（1，0），e2＝（0，1），今有质点P从P0（-1,2）开始沿着
与向量e1＋e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|e1＋e2|米/秒；另一个动点Q从点Q0（-2,-1）出发，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3e1＋2e2|米/秒，设P、Q在时刻t＝0秒时分别在P0，Q0处，则当PQ?P0Q0时，t等于（ ）
（A）2秒 （B）3秒 （Ｃ）４秒 （D）5秒
信达
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（4）右图所示的某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m)与时间t（月）的关系为：y?a.有以下判断：①这个指数函数的底数为2；②第5个月后，浮萍面积就会超过30m2；③浮萍从4m2蔓延到12m2只需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2m2,3m,6m所经过的时间分别为t1,t2,t3,则t1?t2?t3．其中正确判断的个数是（ ）
(A) 1 (B) 2 (C) 3 （D） 4
O123t
22t2y 8 4 2 1
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． （5）现有一个长方体水箱，从水箱里面量得它的深是30cm，底面的长是25cm，宽是20cm．设
0＜a≤8，水箱里盛有深为acm的水，若往水箱里放入棱长为10cm的立方体铁块，则水深为_________cm.
D （6）如图，距离船只A的正北方向100 n mile处，有一船只B 060 以每小时20 n mile速度，沿北偏西600 角的方向行驶，船 B
只A以每小时15 n mile速度，向正北方向行驶，两船同时 出发，经过 小时后，两船相距最近。
C A
（7）现有一块长轴长为1米、短轴长为0.8米的椭圆形玻璃镜片，
欲从此镜片中划出一块矩形镜片，则此矩形镜片的最大面积为________平方米。 （8）某工厂为某工地生产一种无盖圆柱形容器，容器的底面半径r?[2，3]（米），容积为
3?(米3)，制造容器底面的材料每平方米为30元，制造容器侧面的材料每平方米为220元，设计时材料的厚度可忽略不计，则这种容器的最低造价为 元．（取π＝3.14，精确到1元）
三、解答题：本大题共4小题，共60分．要求写出解答过程． （9）（本小题满分10分）
某人身高为a,在流溪河边测得文峰塔尖的仰角为?，而在流溪河的倒影中测得塔
尖的俯角为?，求文峰塔的高h.
a ??
h
信达
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（10）（本小题满分15分）
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、奖金所得不超过800元部分不必交税，超过800元的部分为全月应纳税所得额。此项纳税按下表分段累进计算： 应纳税所得额 不超过500元部分 超过500元到2000元部分 超过2000元到5000元部分 超过5000元到20000元部分 …… 税率 5％ 10％ 15％ 20％ …… (1)有一人某月工资奖金收入额为1500元，应纳个人所得税多少元？ (2)有人某月缴纳个人所得税250元，他该月的工资奖金收入为多少？
(11) （本小题满分15分）
一个滚球轴承的内外圆的半径分别为R－d，R，如图所示，问：这个轴承里最多可放几个滚珠？
R
R－d
(12)（本小题满分20分）
如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
信达
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（Ⅰ）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱 宽l是多少？
（Ⅱ）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S?结果精确到0.1米，7≈2.65）
从化六中高二级数学知识应用竞赛试卷 答案：（1）B（2）B（3）A （4）C （5）（9）（本小题满分10分）
解：依题意，观测点到文峰塔的水平距离为(h?a)cot?或(h?a)cot?，则
?4lh，柱体体积为：底面积乘以高.本题
5a20（6） （7）0.4 （8）471 413信达
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(h?a)cot??(h?a)cot?h(cot??cot?)?a(cot??cot?)cos?cos??a(cot??cot?)cos??sin??sin??cos?sin(???)sin?sin?h??a??a??a?cos?cos?cot??cot?cos??sin??sin??cos?sin(???)?sin?sin? 答：（略） （10）（本小题满分15分）
解：依题意，设某人的工资奖金收入为x元，应交纳个人所得税额为y元，则y关于x
的分段函数为：
?0?(x?800)?5%???25?(x?1300)?10%y???175?(x?2800)?15%?625?(x?5800)?20%???...x?(0,800]x?(800,1300]x?(1300,2800]x?(2800,5800]x?(5800,20800].....
(1)当x=1500时，代入以上函数求得y=25＋（1500－1300）10％＝45(元) (2)当y=250时，可知x?(2800,5800],代入以上函数， 250=175＋（x-2800）15%得x=3300(元) 答：（略）
(11) （本小题满分15分）
解：如图，设两圆P，Q相切于点T，连接OT 在Rt△OTP中
∠POT＝
P R-d T Q ?dd? R-d ，OP＝R－。PT＝
O 222dd?则有sin?2，得??2arcsin()
d2R?d2R?2当圆心角为?时，可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）时可放的滚珠为 2????darcsin2R?d
但滚珠数应是整数，因此放滚珠的最多数目n只能是不超过
?darcsin2R?d的最大整
数。
信达
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(12) （本小题满分15分）
x2y2解: （Ⅰ）如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5）， 椭圆方程为2?2?1.
ab将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a?隧道的拱宽约为33.3米.
447887,此时l?2a??33.3.因此77x2y2（Ⅱ）由椭圆方程2?2?1，
ab1124.52得2?2?1. ab1124.522?11?4.5因为2?2?即ab?99,且l?2a,h?b,abab??ab99?所以S?lh??.422
1124.52192当S取最小值时,有2?2?,得a?112,b?22ab此时l?2a?222?31.1,h?b?6.4故当拱高约为6.4米、拱宽约为31.1米时，土方工程量最小.
信达
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