初中数学——《圆》
【知识结构】
??定义????点与圆的位置关系??三点定圆定理????垂径定理及推论????圆的有关性质距之间的关系??圆心角、弧、弦、弦心??基本性质?圆周角定理?????圆内接四边形??????点的轨迹??反证法????????相离????判定??直线和圆的位置关系?相切???性质???相交弦定理及推论??相交?????切割线定理及推论圆????外离????外切??圆和圆的位置关系?相交??内切??????内含?????????概念????计算?正多边形?计算?半径、边心距、中心角????边长、面积的计算???????正多边形与圆形周长计算?圆周长、弧长、组合图???画法应用????形面积计算?圆面积、扇形、组合图??????定义????圆柱和圆锥?侧面展开图? ???侧面积、全面积计算????
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A
一、圆及与圆相关的概念
O二、圆的对称性
E（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。 DC（2）对称轴——直径所在的直线，对称中心——圆心。 B三、垂径定理
DC 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
O推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
BA 知2推3定理： ①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧
EBC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 F四、圆心角定理 OD 圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相
等，弦心距相等。 ACB 知1推3定理：
C①?AOB??DOE；②AB?DE； ③OC?OF；④ 弧BA?弧BD 五、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
OB2、推论：
A1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角
DC所对的弧是等弧；
2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
OB3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 C 六、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内
BAO对角。
D七、点与圆的位置关系 C1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内； 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； 八、三点定圆定理——三角形外接圆 BE 1、三点定圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 A 2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
九、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点；
2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
Ardd=rrd
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十、切线的性质与判定定理
1、判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线 （两个条件，缺一不可） 2、性质定理：切线垂直于过切点的半径
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 十一、切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
十二、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
OMABNOPA（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r=
a?b?c 。 21（3）S△ABC=r(a?b?c)，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。
A D 2O （4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
B 十三、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r；
相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）? 无交点 ? d?R?r；
dR图1rRdr图2dR图3r
ddrr RR
图4图5十四、圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙O中△ABC是正三角形，有关计算在Rt?BOD中进行：OD:BD:OB?1:3:2；
CB C OO
O ADBEA AB
D
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（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt?OAE中进行，OE:AE:OA?1:1:2：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt?OAB中进行，
. :2AB:O:B?OA1:3十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
On?R1、扇形：（1）弧长公式：l?；
180n?R21?lR （2）扇形面积公式： S?3602n：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 l：扇形
弧长 S：扇形面积 A2、圆柱：
B1（1）圆柱侧面展开图
S表?S侧?2S底=2?rh?2?r2 （2）圆柱的体积：V??rh 3、圆锥侧面展开图
（1）S表?S侧?S底=?Rr??r2
2ASlBDD1母线长底面圆周长C1BCO1（2）圆锥的体积：V??r2h
3CrAB十六、补充定理 一、圆幂定理
1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：PA?PB?PC?PD 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：CE2?AE?BE
2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割
RBOPCADCBOEDA线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：PA2?PC?PB
3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 PPC?PB?PD?PE即：
二、两圆公共弦定理
圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
三、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：Rt?O1O2C中，AB2?CO12?O1O22?CO22；
（2）外公切线长：CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和
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ADOCBEAO1BACO2BO1O2
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