2.二次函数y?ax的性质
2★二次函数知识点汇总★ 姓名： 。
21.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数. (1)抛物线y?ax（a?0）的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.(2)函数y?ax的图像与a的符号关系.
①当a?0时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；②当a?0时?抛物线开口向下?顶点为其最高点
3.二次函数 y?ax?bx?c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
24.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
2222h??b4ac?b2. ，k?2a4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①y?ax；②y?ax?k；③y?a?x?h?；④y?a?x?h??k；⑤y?ax?bx?c.
26.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a决定抛物线的开口方向：
当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于y轴(或重合)的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.
7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4ac?b2b?4ac?b2?2（?，）(1)公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，对称轴是??2a4a2a4a??b直线x??.
2a2(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称
轴是x?h.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.
★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 9.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用
(1)a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
2(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线x??b,故：
2222a①b?0时，对称轴为y轴；②b?0(即a、b同号)时,对称轴在y轴左侧；
a③b?0(即a、b异号)时,对称轴在y轴右侧.
a(3)c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.
当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点(0，c)：
1
22①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 b?0.
a10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 (0,0) (0, k) (h,0) (h,k) y?ax2 x?0(y轴) 2y?ax2?k y?a?x?h? y?a?x?h??k2当a?0时 开口向上 当a?0时 开口向下 x?0(y轴) x?h x?h bx?? 2a y?ax?bx?c 11.用待定系数法求二次函数的解析式
2b4ac?b2，(?) 2a4a根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。 〈一〉三点式。
2
1，已知抛物线y=ax+bx+c 经过A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三点，求抛物线的
解析式。
2，已知抛物线y=a(x-1)+4 ， 经过点A（2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。
1，已知抛物线y=x-2ax+a+b 顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。 2，已知抛物线 y=4(x+a)-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。
1，已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=〈四〉定点式。
1，在直角坐标系中，不论a 取何值，抛物线y??2
2
2２
1a(x-2a)(x-b)的解析式。 2125?ax?x?2a?2经过x 轴上一定22点Q，直线y?(a?2)x?2经过点Q,求抛物线的解析式。
2，抛物线y= x +(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3，抛物线y=ax+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。
2，把抛物线y= -2x 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h) +k,求此抛物线解析式。
2，抛物线y??x?x?3向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。
1，抛物线y=ax+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。
2
2
2
2
22
22，已知抛物线y=m x+3mx-4m(m﹥0)与 x轴交于A、B两点，与 轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 〈七〉对称轴式。
1，抛物线y=x-2x+(m-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求抛物线的解析式。
1，已知抛物线y=-x+ax+4, 交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交 y轴于点C,且OB-OA=求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。
1.平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=16，D（2，6）。AD交y 轴于E，将三角形ABC沿x 轴折叠，点B到B1的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。 2.求与抛物线y=x+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。 〈九〉切点式。
1，已知直线y=ax-a(a≠0) 与抛物线y=mx 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax +k 的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析式。 〈十〉判别式式。
1.已知关于X的一元二次方程（m+1）x+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x+(m+1)x+3解析式。
2.已知抛物线y=(a+2)x-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式。 3.已知抛物线y=(m+1)x+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。 12.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0,c)
(2)与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点(h,ah2?bh?c). (3)抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对一元二次方程
22222
2
2
2
2
2
22
2
2
2
3OC，4ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式
判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点(顶点在x轴上)???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. (4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设
2纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
(5)一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G的交
2点，由方程组
3
?y?kx?n的解的数目来确定： ?2?y?ax?bx?c①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点;
②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与G没有交点.
2(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为
bcA?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故 x1?x2??,x1?x2?
aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c ?4x1x2???????aaa?a?2213．二次函数与一元二次方程的关系：
(1)一元二次方程y?ax?bx?c是二次函数y?ax?bx?c当y的值为0时的情况． (2)二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y?0时自变量x的值，即一元二次方程ax?bx?c?0的根．
2(3)当二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程
2222y?ax2?bx?c有两个不相等的实数根；当二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴有一个
2交点时，则一元二次方程ax?bx?c?0有两个相等的实数根；当二次函数y?ax?bx?c2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程ax?bx?c?0没有实数根 14.二次函数的应用：
(1)二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大(小)值；
(2)二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．
2
知识点一、二次函数的概念
1．下列函数中，其形状为抛物线的是（ ） A．y??3112 B．y??x?5 C．y?x D．y?x x2222．若函数y??m?1?xm?1?3x?1是二次函数，则m的值为 .
3．若二次函数y?x2?mx?1的图象经过点（2，1），则m的值为 .
4
相关推荐：
loading