知识点二、二次函数的图象和性质 1、二次函数的性质： 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 练一练： 函数 开口方向 .即当x .即当x .即当x .即当x 对称轴 时， y随x的增大时，y随x的增大时， y随x的增大时，y随x的增大
顶点坐标 y?ax2?bx?c a＞0时，开口 ； a＜0时，开口 。 （ ， ） y?a?x?h??k 2a＞0时，开口 ； a＜0时，开口 。 （ ， ） y??x2 y?2x2?1 y??3(x?2)2 y??2(x?5)2?1 y?x2?2x?3 2、二次函数的增减性以 分界.
（1）当a＞0，在对称轴的左侧，曲线从左往右 而
；
在对称轴的右侧，曲线从左往右
而
.
（2）当a＜0，在对称轴的左侧，曲线从左往右 而
；
在对称轴的右侧，曲线从左往右
而
.
3、二次函数的最值在 处取得.
（1）当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是最 点， 因而y有 值； （2）当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是最 点， 因而y有 值； 练一练：
（1）二次函数y??2(x?5)?1，当x＝ 时，y有最 值为 ；
当x 时，y随x的增大而 ；当x 时，y随x的增大而 。 （2）抛物线y?x2?x?2上三点（－2，a）、(－1，b)，（3，c），则a、b、c的大小关系是（ ）
A、a＞b＞c B b＞a＞c C c＞a＞b D无法比较大小
5
24、二次函数的平移规律：平方内 ， 。 （1）把抛物线y??2x?1向左平移2个，再向上平移3个单位，所得的函数关系式是（ ）
A、y??2(x?2)2?4 B、y??2(x?2)2?2 C、y??2(x?2)2?4 D、
2y??2(x?2)2?6
（2）将抛物线y?x2?2x?5先向下平移1个，再向左平移4个单位，则平移后的函数式是： 练一练：
已知抛物线的解析式为y??(x?1)?4，请按下列要求作答： （1）开口向_______，顶点坐标是_________，对称轴是_________， （2）在右边空白处画出它的大致图像；
（3）观察图像，当x 时，y随x的增大而 ，
当x 时，y随x的增大而 ， 当x=_______时，y有最______值 = ________。
（4）图像与x轴的交点是： ，与y轴的交点是： 。 （5）当 时，y> 0；当 时, y< 0。
（6）抛物线y??(x?1)?4可以看作是由抛物线y＝ - x2向 平移 个单位，
再向 平移 个单位得到的.
知识点三、二次函数的顶点坐标的求法：1、 法 2、 法、 3、 法 1、说出下列二次函数的顶点坐标和对称轴
1
（1）y＝2 (x＋1)2－3 （2）y＝－ (x-5)2－4（ 3）y＝－3 (x＋4)2＋1 （4）y＝ (x－2)2＋3
2
一般地，二次函数y＝a(x-h)＋k，其顶点坐标为 2、用简捷的方法求出下列二次函数的顶点坐标 （1）y?x?2x?1（1）y?
3、已知抛物线y??x2?2x?2．
（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）列表、描点、连线，得函数图象； y2222126?3xx?8x?10（3）y?60x?1.5x2（4）y??x 32x y … … … … 1-5-4-3-2-1O12345-1x（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的
横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．
6
知识点四、二次函数的顶点坐标及其运用 （顶点坐标公式：h＝ ， k＝ ）1．对于二次函数y?x2?2x?m，当x= 时，y有最小值． 2．若抛物线y?12x?mx?3的对称轴是直线x=4，则m的值为 。 23．已知二次函数y?a(x?1)2?b有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 4．抛物线y＝3x+6x＋c的顶点是（－1，2），则c＝ 5．抛物线y＝4x2－2x＋m的顶点在x轴上，则m＝__________．
26．已知二次函数y?2x?bx?c顶点坐标为（2，?3），则b? ，c? 。
2
7．已知二次函数y＝x＋（m－1）x＋1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ） A、m＝－1 B、m＝3 C、m≤－1 D、m≥－1 知识点五、二次函数的轴对称性及其运用： 关于抛物线的对称点，
（1）．从图象上看， 的两个点为对称点； （2）．从数值来看， 的两个点为对称点； （3）．中点坐标公式：x 轴上两点x1 、x2的中点坐标 x＝ . 练一练：
1．观察下列图形，利用二次函数图象的轴对称性，回答以下问题：
（1）如下图1点A的坐标为（ ， ）；（2）如下图2抛物线的对称轴是 .
图1 图2 图3
2．小颖用几何画板软件探索方程ax?bx?c?0的实数根，作出了如上图3所示的图象，观察得一个近似根为x1??4.5，则方程的另一个近似根为 . 3．已知二次函数y?ax?bx?c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表所示：
222
x y … … 0 4 1 1 2 0 3 1 4 4 … … 点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数的图象上，则当1?x1?2,3?x2?4时，
y1与y2的大小关系正确的是（ ）
A．y1?y2 B． y1?y2 C． y1?y2 D． y1?y2 4．用中点法求二次函数y?(x?30)(100?2x)的最值。
7
知识点六、待定系数法求二次函数解析式:
（1）、已知抛物线经过点A（－2，9），B（3，4），C（0，－5），求抛物线解析式．
解：设二次函数关系式为y =
分别代入A（－2，9），B（3，4），C（0，－5）可得：（请往下继续完成解题过程）
（2）已知抛物线的顶点为P（－3，4），且过点A（－1，2），求此抛物线的解析式。 解：因顶点P为（－3，4）为，故设解析式为y?a(x?)2? ，
代人A（－1，2），可得： （请往下继续完成解题过程）
（3）已知一抛物线与x轴的交点是A（-1，0），B（3，0），且经过C（1，-5）
求该抛物线的解析式及其顶点坐标。
解：已知抛物线与x轴的两个交点A（-1，0），B（3，0），
故可设交点式：y＝a（x－ ）（x－ ）．
代人（1，-5），可得： （请往下继续完成解题过程）
练一练：1．试根据图中所给的信息，求出二次函数的解析式
2．（12泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别
在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y??（1）求该二次函数的解析式；
（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．
（第2题图）
8
O A x 22x?bx?c的图象经过B、C两点． 3y C B
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