2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷
理科数学(十九) 【p321】 (坐标系与参数方程，不等式选讲) 时间：60分钟 总分：100分
一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，将各小题的结果填在题中横线上．)
???x＝3cos θ＋1，?x＝4t－6，
?1．圆(θ为参数)的圆心到直线?(t为参数)的距离是________． ?y＝3sin θ－2?y＝－3t＋2??
??x＝3cos θ＋1，【解析】圆?的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为(1，－2)．直线
??y＝3sin θ－2??x＝4t－6，
?的普通方程为3x＋4y＋10＝0，所以点(1，－2)到直线3x＋4y＋10＝0的距离为?y＝－3t＋2?
|3－8＋10|
＝1. 5
【答案】1
1
x＋?>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是2．若不等式??x?________．
11
x＋?＝x＋≥2； 【解析】当x>0时，??x?x11
x＋?＝(－x)＋≥2. 当x<0时，??x?－x
1
x＋?＝2，∴只需|a－2|＋1<2，解之得1 min 【答案】(1，3) 3．已知关于x的不等式2x＋________． 22 【解析】2x＋＝2(x－a)＋＋2a≥2 x－ax－a 23 2（x－a）·＋2a＝2a＋4≥7，∴a≥. 2x－a 2 ≥7在x∈(a，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为x－a 3 【答案】 2 4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 ________． 【解析】由ρ＝2cos θ可得其直角坐标方程为x2＋y2＝2x?(x－1)2＋y2＝1，所以圆的圆心为(1，0)，半径为1，与x轴垂直的圆的切线方程分别是x＝0，x＝2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2. 2 π 【答案】θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2 2 5．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C的参数方程为________． 【解析】曲线C：ρ＝2cos θ是以(1，0)为圆心，半径为1的圆，其方程为(x－1)2＋y2 ??x＝1＋cos φ， ＝1，故参数方程为?(φ为参数)． ?y＝sin φ? π?x＝1＋cos φ，? 【答案】?(φ为参数) ?y＝sin φ? 6．已知函数f(x)＝|2x－1|－|x＋2|，若?x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，则实数m的取值范围是________． ?－3x－1，－2≤x≤1 2， 【解析】∵f(x)＝?1 x－3，x>?2 1?5 ∴f(x)min＝f?＝－. ?2?2 515若?x0∈R，使得f(x0)＋2m2<4m，只需－2m2＋4m>－，解之得－ 22215 －，? 【答案】??22?1＋x1＋y 7．若x，y都是正实数，且x＋y>2，则<2和<2中________成立．(填“两个 yx都”“两个都不”“只有一个”“至少有一个”“至多有一个”)． －x＋3，x<－2 1＋x1＋y 【解析】假设<2和<2都不成立， yx1＋x1＋y 则有≥2和≥2同时成立． yx因为x>0且y>0， 所以1＋x≥2y，且1＋y≥2x. 两式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y， 所以x＋y≤2. 这与已知条件x＋y>2矛盾， 1＋x1＋y因此<2和<2中至少有一个成立． yx【答案】至少有一个 abc8．已知△ABC的三边长分别是a，b，c且m为正数，则＋________(填 a＋mb＋mc＋m“>”“<”“≥”“≤”“＝”)． abc 【解析】由a，b，c，m都大于0可知，要比较＋与的大小，只需比较 a＋mb＋mc＋ma(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)与c(a＋m)(b＋m)的大小， 因为a(b＋m)(c＋m)＋b(a＋m)(c＋m)－c(a＋m)(b＋m) ＝abc＋abm＋acm＋am2＋abc＋abm＋bcm＋bm2－abc－acm－bcm－cm2 ＝abc＋2abm＋(a＋b－c)m2， 由于a，b，c分别是△ABC的三边长，故有a＋b>c. ∵m>0，∴(a＋b－c)m2>0， ∴abc＋2abm＋(a＋b－c)m2>0， abc因此＋>成立． a＋mb＋mc＋m【答案】> 二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 9．已知a>0，b>0，a＋b＝1. 111 (1)求证：＋＋≥8； abab11 1＋??1＋?≥9. (2)求证：??a??b?【解析】(1)∵a>0，b>0，a＋b＝1， 11111a＋b?11? ∴＋＋＝＋＋＝2?a＋b? abababab＝2? a＋ba＋b??ba?? 2＋＋ ?a＋b?＝2?ab?≥2?2＋2 ba?·＝8. ab?1 当且仅当a＝b＝时，取“＝”号，即原不等式成立． 2111111＋??1＋?＝1＋＋＋， (2)∵??a??b?abab111 由(1)知＋＋≥8， abab 11111 1＋??1＋?≥9. ∴1＋＋＋≥9，即??a??b?abab 10．已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)． (1)解关于x的不等式f(x)>5； (2)若不等式f(x)≥g(x)对任意x∈R恒成立，求m的取值范围． 【解析】(1)由f(x)>5，得|x－2|>3， ∴x－2<－3或x－2>3， 解得x<－1或x>5. 故原不等式的解集为{x|x<－1或x>5}． (2)由f(x)≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对任意x∈R恒成立， 当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立， 当x≠0时，问题等价于m≤ |x－2|＋2 对任意非零实数恒成立， |x|
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