【2020考研资料夹】考研数学历年真题(1987-1997)年数学一

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1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

1x=_____________. (1)limx?0(1?cosx)ln(1?x)3sinx?x2cos?

(2)设幂级数

?axnn?1n的收敛半径为3,则幂级数

?na(x?1)nn?1?n?1的收敛区间为_____________.

(3)对数螺线??e在点(?,?)?(e2,???2)处切线的直角坐标方程为_____________.

?12?2???,B为三阶非零矩阵,且AB?O,则=_____________.

3(4)设A?4tt????3?11??(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

xy (x,y)?(0,0)22(1)二元函数f(x,y)? x?y,在点(0,0)处（ ）

0 (x,y)?(0,0) (A)连续,偏导数存在

(B)连续,偏导数不存在

(C)不连续,偏导数存在 (D)连续,偏导数不存在

(2)设在区间[a,b]上f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.令

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b1S1??f(x)dx,S2?f(b)(b?a),S3?[f(a)?f(b)](b?a),则（ ）

a2 (A)S1?S2?S3

(B)S2?S1?S3

(C)S3?S1?S2

(D)S2?S3?S1

(3)设F(x)??x?2?xesintsintdt,则F(x)（ ）

(A)为正常数 (B)为负常数 (C)恒为零 (D)不为常数

a1x?b1y?c1?0,?a1??b1??c1???????(4)设α1?a2,α2?b2,α3?c2,则三条直线a2x?b2y?c2?0,(其中ai2?bi2?0,i?1,2,3)交于一点的充要条?????????a3x?b3y?c3?0?a3???b3???c3??件是:（ ）

(A)α1,α2,α3线性相关 (B)α1,α2,α3线性无关

(C)秩r(α1,α2,α3)?秩r(α1,α2) (D)α1,α2,α3线性相关,α1,α2线性无关

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2,则随机变量3X?2Y的方差是（ ）

(A)8 (B)16 (C)28 (D)44

三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)

y2?2z(1)计算I????(x?y)dv,其中?为平面曲线 绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z?8所围成的区域.

x?0?22

2

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(2)计算曲线积分是顺时针的.

??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz,其中c是曲线 x?y?z?2从z轴正向往z轴负向看c的方向

cx2?y2?1

(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为N,在t?0时刻已掌握新技术的人数为x0,在任意时刻t已掌握新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数k?0,求x(t).

四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)

(1)设直线l: x?y?b?022在平面?上,而平面?与曲面z?x?y相切于点(1,?2,5),求a,b之值.

x?ay?z?3?0

?2z?2z(2)设函数f(u)具有二阶连续导数,而z?f(esiny)满足方程2?2?e2xz,求f(u).

?x?yx

五、(本题满分6分)

设f(x)连续,?(x)??10f(xt)dt,且limx?0f(x)?A(A为常数),求??(x)并讨论??(x)在x?0处的连续性. x3

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