概率论期末试卷4及答案

概率论期末试卷4及答案

一、填空题（40分）（共10题，每题4分）

1、任意抛掷两颗骰子，则点数之和为8的概率= __________.

2、设P(A)?0.6，P(B)?0.8，P(A?B)?0.9，则P(A?B) =________. 3、10件产品中，有7件正品，3件次品，而7件正品中有3件一等品，

4件二等品.现从这10件中任取件.用A表示“取到一等品”，BB表 示“取到正品”，则P(AB) =__________.

4、某人投篮4次，若每次投中的概率为p，则恰好投中两次的概率是___.

?C? 5、设?的密度函数为：P(x)??1?x2?0??1?x?1其它

则C =__________； E?=__________.

6、设?服从参数为?的指数分布，则E?=________， D?=________. 7、设(?,?)的分布函数为F(x,y)，则P(a???b,????)=_______. 8、若?~N(1,4)，则P(?1???3) =__________.

9、若?~N(?,?)，（?1，?2，?，?n）是取自母体?的一个子样， 则?~__________，

22n?2Sn~_________.

?210、设?~N(?,?)，采用矩法估计，则?=________，二、判断题（10分）（共5题，每题2分）

??2=________.

1、概率等于0的事件是不可能事件. （ ） 2、P(AB)?P(AB)?1. （ ） 3、P(??a)=0. （ ） 4、连续型随机变量的分布函数是连续函数. （ ）

??sinx 5、函数f(x)????0x?(0,?2是某一随机变量的密度函数.（ ）

)其它三、计算题（共36分）（第2小题15分，其余各题7分）

1、甲、乙两人向同一敌机射击，设甲、乙射中敌机的概率分别为0.4、0.5，

又设若只有一人射中，敌机坠毁的概率为0.2，若二人射中，敌机坠毁的概率为0.6，求敌机坠毁的概率.

2、设二维随机变量(?,?)的联合密度函数为：

?ce?2(x?y)p(x,y)???0x?0,y?0其它

试求：(1)常数c；(2)分布函数F(x,y)；(3)边际密度P?(x),P?(y)； (4) P(0???1,0???2). 3、设?的分布列为

? P 1 2 ? ? n C n2? ? C 2C 22求：(1)常数C；(2)??cos(?2?)的分布列.

224、设?1，?2，?，?n是取自正态母体?~N(?,?)的一个子样，其中?,?是未知参数，参数空间?=

???R,?2?0，求?,?2的极大似然估计.

?四、证明题（14分）

n1 1、如果随机变量序列??n?，当n??时，有2D(??k)?0，证明??n?

nk?1服从大数定律.

2、设?1，?2，?，?n为取自正态母体?~N(?,?2)的一个子样，?与Sn 分别为子样均值与子样方差，则

2(???)n?1~t(n?1).

Sn期末试卷4卷参考答案

一、填空题：（40分）（共10题，每题4分）

532222； 2、0.1 ； 3、；4、C4pq； 5、,0 ； 367?116、,； 7、F?(b)?F?(a?0) 8、2?(1)?1； 21、

??9、N(?,?2n2),?2(n?1)； 10、?,Sn．

二、判断题：（10分）（共5题，每题2分）

1、错 2、对 3、错 4 、对 5、对

三、计算题（共36分）（第2小题15分，其余各题7分） 1.解：设A1?“甲击中敌机”，，A2?“乙击中敌机”，

，B2?“二个人击中敌机”，C?“敌机坠毁” B1?“一个人击中敌机”则由题意可知

P(A1)?0.4,P(A2)?0.5,且A1,A2相互独立

P(CB1)?0.2,P(CB2)?0.6, （2分）

于是有

P(B1)?P(A1A2?A1A2)?P(A1A2)?P(A1A2)

?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)

?0.4?(1?0.5)?(1?0.4)?0.5?0.5 （2分）

所以有

P(C)??P(Bi)?P(C|Bi)?0.5?0.2?0.2?0.6?0.22 （3分）

i?122.解：（1）由密度函数的规范性得 1???????????f(x,y)dxdy????0???0ce?2x?2ydxdy?c 4所以 c?4 （4分）

（2）F(x,y)???xy????xy?2s?2t?dsdt?(1?e?2x)(1?e?2y),x?0,y?0??0?04ef(s,t)dsdt???其它?0,（3分）

(3)

f?(x)??????f(x,y)dy????04e?2x?2y?2e?2x,x?0dy??x?0?0, ，

f?(y)??（4）

????f(x,y)dx??4e0???2x?2y?2e?2y,y?0dx?? （4分）

y?0?0,（4分） P(0???1,0???2)?F(0,0)?F(1,2)?F(0,2)?F(1,0)?1?e?2?e?4?e?8．3．解：(1) 由分布列的规范性知

1c1??n?c?2?c

1i?121?2?所以 c?1 （3分） (2) 由题意可知

??cos?2?的可能取值为-1,0,1

且 P(???1)??P(??4k?2)??k?0k?0???124k?2?12141?116?4 15P(??0)??P(??2k?1)??k?0k?0?122k?1?1?14?2 31??11P(??1)??P(??4k)??4k?16? （4分）

115k?1k?121?164. 解：设x1,x2,?,xn为子样?1,?2,?,?n的一组观察值

于是似然函数为

L(?,?)?21?2??2?n2e?i?1?(xi??)22?2n （2分）

两边取对数得

nn1lnL(?,?)??ln(2?)?ln?2?222?222?(xi?1ni??)2

两边分别关于?和?取取偏导数，并令其为0，得