天津市北辰区2020届高三一诊数学试卷(解析版)

cb2118．解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e??1?2?，则a?2c，b?3c，

aa2VB1F1F2的面积的面积S?解得：a?2，b?1?2c?b?3，则bc?3， 23，c?1，

x2y2?椭圆的标准方程：??1；

43（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：F(?1,0)，由函数的对称性，直线的斜率存在且不为0， 设直线AC:y?k(x?1)，且k??3，A?x1,y1?，C?x2,y2?，

?y?k(x?1)?2222223?4kx?8kx?4k?12?0， ，整理得：???xy??1?3?48k24k2?12x1?x2??，x1x2?， 23?4k3?4k2则|AC|?1?k2??x1?x2?2?4x1x2?212?1?k2?3?4k2，

12?1?k?1将?代入上式可得|BD|?， 2k4?3k|AC|3k2?43712?2???2则，k?3， |BD|4k?3444k?3由k?0，则

233714???2?，k2?3 4444k?33

?|AC|?313??134?的取值范围?,???,?． |BD|?415??153?19．解：（1）等比数列?an?的各项均为正数，设公比为q，q?0，

2由2a5,a4,4a6成等差数列，可得2a4?2a5?4a6，即a4?a4q?2a4q，即2q?q?1?0，解得q?（?1212舍去），

32由a4?4a3，可得a1q?4a1q2??2，即a1?n1812a1， 411?1?解得a1?，则an????22?2?数列?bn?的前n项和Sn?n?1?1????； ?2?(n?1)bn，n?N*，且b1?1， 2可得n…2时，Sn?1?n(n?1)n?1nbn?1，又Sn?bn，两式相减可得bn?bn?bn?1， 2222化为

bnnbbb23n??n， ，则bn?b1?2?3?n?1???bn?1n?1b1b2bn?112n?1上式对n?1也成立，则bn?n，n?N*；

?n,n为奇数 ?bn,n为奇数????1?n（2）cn??，

?an,n为偶数???,n为偶数??2?当n为偶数时，前n项和Pn?(1?3?5?L?n?1)??1?1?11????n??(1?n?1)2?2?4161?1?1?n?2?1??n?4?2?n1?； ???1????n?143?2??2?1?4(n?1)21?1???1?n?1??n； 当n为奇数时，Pn?Pn?1?n?43?2?（3）证明：dn???b2n?52n?511， an??2?nnn?1??b2n?1b2n?3(2n?1)(2n?3)?2?2(2n?1)2(2n?3)?

则前n项和

?1?11111Tn?2???????n?n?12(2n?1)2(2n?3)??2?34?54?58?7??1?111?2??n?1?2??， ?63?62(2n?3)?即有Tn?1． 3?20．解：（Ⅰ）f(x)?a?1，(x?0)． xa?0时，f?(x)?0，函数f(x)在(0,??)上单调递增．

1??a?x??a?，(x?0)． a?0时，f?(x)??x则f(x)在?0,??1??1?,??上单调递减，在???上单调递增．

a?a??（Ⅱ）a?1时，f(x)?x?2?lnx(x?0)．

f?(x)?x?1，(x?0)． x则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,??)上单调递增．

x?1时，函数f(x)取得极小值即最小值，f(1)??1．

x?0?时，f(x)???；x???时，f(x)???．

?函数f(x)存在两个零点．

（Ⅲ）当a?1时，对?x?(1,??)，都有(4k?1?lnx)x?f(x)?1?0(k?Z)成立，

化为：4k?lnx?1nx?3?g(x)， xg?(x)?11?(1nx?3)x?1nx?2??． xx2x2令u(x)?x?lnx?2，x?(1,??)，

u?(x)?1?1?0， x?函数u(x)在x?(1,??)调递增，

u(3)?1?ln3，u(4)?2?2ln2，

?存在唯一的x0?(3,4)，使得u?x0??0，即x0?lnx0?2?0，

函数g(x)在?1,x0?内单调递减，在?x0,???单调递增．

?g(x)min?g?x0??lnx0?lnx0?3x?2?31?713??x0?2?0?x0??1??,?， x0x0x0?34???1Q4k??x0??1?min，k?．

x0???k的最大值为0．