第十七讲整数型计算综合提高
「、多位数计算
1. 凑整、凑9的思想; 2.
和问题:992L$9与一个小于它的数相乘,积的数字和是n个9
、等差数列
1. 等差数列的“ 配对”思想;
2. 求和公式:
(1) 首项
末项 项数 2;
(2)中间项
项数. 3. 项数公式:
末项-首项公差1
4. 第n项:首项 页
n 1 公差.
三、等比数列:
等比数列“错位相减”法求和,基本步骤是: (1) 设等比数列的和为 S;
(2) 等式两边同时乘以公比(或者公比的倒数) (3) 两式对应的项相减,消去同样的项,求出结果;
四、基本公式
1. 平方差公式
2. 平方求和
n n 1 2n 1 3立方求和
. .3
1 2
3
33
五 整数裂项 、
1
.
2.
3
数字
9xn.
4
I经典题型
一、 整数数列基本计算
1. 公式型计算; 2. 平方差公式的应用; 3. 整数裂项:
(1) 基本裂项:例如1X2、1X2X3等; (2) 高等裂项:与阶乘或其它数列相关的裂项. 二、 计算技巧
1. 换元思想; 2. 分组思想; 3. 裂项思想;
4. 数论思想在计算中的应用;
例1 . ( 1) 888888882 111111112的计算结果是多少?
30个3
(2) 888Lg8 332^3的计算结果的数字和是多少? 30个8 「分析」(1)还记得平方差公式吗?( 再算数字和.
2 )可以用凑整的思想计算出这个算式的结果,
练习1、999999999 999999999的计算结果的数字和是多少?
例2.某书的页码是连续的自然数 1、2、3、…、9、10、…;小须把这些页码相加时,将其
中连续2个页码漏掉了,结果得到2013,那么这本书共有多少页?漏掉的
2页是多少?
「分析」首先可以估算一下这本书的大概页数是多少?确定页码总数的范围后再计算就 变得简单一些了.
练习2、把从1开始的所有奇数进行分组,其中每一组的第一个数都等于这一段中所有
数的个数,例如:(1), (3, 5, 7), (9, 11, 13, 15, 17, 19, 21 , 23, 25), (27, 29,
L L , 79), (81, 83, L L ),那么第8组中所有数的和是多少?
(1)计算:
例3.对自然数
a和n, 规定
an an 1,例如 3 2 32 3 12,那么:
(2)计算:
30 2 ; 「分析」首先理解题目定义的新运算规
则,然后再计算,注意三角符号前后数字顺序.
2 10.
1 3 2 3 L 30 3的结果是多少?
例4.计算:
练习3、对自然数1 2+(1+2)
a和4+(1+2+3) n
,规定a n 6+(1+2+3+4) an 1,例如8+L +(1+2+L +20)
3 3 33 32 3640 -
,那么: 「分析」试着计算几项,寻找一下规律.
3
3 3 3 . 3
练习4、计算:
112 3 3 3 3 3
— ------- --------------- L 12 3. 1 2 3 L 100
1 1 2 1 2 :
1 2 3 L__100
例5.计算:1 2
3 4 5 6 L 99 100 .
「分析」这是一道整数裂项的题目,分析一下如何进行拆分.
例
6.计算:1! 3 2! 4 3! 5 4! 6 L
2009! 2011 2010! 2012 2011! 2013 「分析」关于阶乘的计算一定牢记:
n! n 1 n 1 !,本题是否有类似计算.
算式: 2012!
数学史上的一代王者 --- 欧拉
莱昂哈德 欧拉(Leonhard Euler , 1707年4月5日?1783年9月18日)是瑞士 数学家和物理学家.他被一些数学史学者称为历史上最伟大的两位数学家之一
(另一位
是卡尔弗里德里克 高斯).欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表 达式的人?他是把微积分应用于物理学的先驱者之一.
欧拉1707年4月15日出生于瑞士,在那里受教育.他一生大部分时间在俄罗斯帝 国和普鲁士度过.欧拉是一位数学神童.他作为数学教授,先后任教于圣彼得堡和柏林, 尔后再返圣彼得堡, 柏林科学院的创始人之一.
欧拉是有史以来最多遗产的数学家,
他
的全集共计 75卷?他是刚体力学和流体力学的奠基者,弹性系统稳定性理论的开创 人.欧拉在固体力学方面的著述也很多,
振动问题,等等?欧拉实际上支配了 导出了很多结果?在他生命的最后 惊人的速度产出了生平一半的著作.
诸如弹性压杆失稳后的形状,上端悬挂重链的
18世纪的数学,对于当时的新发明微积分,他推 7年中,欧拉的双目完全失明,
尽管如此,他还是以
1733年,丹尼尔吃够了神圣俄罗斯的苦头回自由的瑞士去了,
科学院的第一把数学交椅.
他感到自己以后的生活要固定在圣彼得堡,
26岁的欧拉坐上了
便决定结婚,定
居下来,并随遇而安.夫人凯瑟琳娜 女儿.后来政治形势变得更糟了, 快出生,他又感到被拴得越来越牢了,
(Catharina),是彼得大帝带回俄国的画家格塞尔的
欧拉曾经绝望得想逃走,但随着孩子一个接一个地很
使到不休止的工作中去寻求慰藉.
某些传记作家
把欧拉的无比多产追溯到他这第一次旅居俄国的时期; 作的牢不可破的习惯.
平常的谨慎迫使他去成了勤奋工
欧拉是能在任何地方、任何条件下进行工作的几个伟大数学家之一. 他很喜欢孩子
(他自己曾有13个,但除了 5个以外,都很年轻就死了).他写论文时常常把一个婴儿 抱在膝上,而较大的孩子都围着他玩.他写作最难的数学作品时也令人难以置信的轻松.
许多关于他才思横溢的传说流传至今.
有些无疑是夸张的,但据说欧拉确实常常在
文章一写完,就放到给印刷
两次叫他吃晚饭的半小时左右的时间里赶出一篇数学论文. 者准备的不断增高的稿子堆儿上.
当科学院的学报需要材料时,印刷者便从这堆儿顶上
由于欧拉习惯于为
这种恶果便显得更严重,以
拿走一打.这样一来,这些文章的发表日期就常常与写作顺序颠倒. 了搞透或扩展他已经做过的东西而对一个课题反覆搞多次, 至有时关于某课题的一系列文章发表顺序完全相反.
1730年小沙皇死去,安娜.伊凡诺芙娜
科学院而言,受到了关心,工作活跃多了.而俄国, 下,遭受了其历史上一段最血腥的恐怖统治.
(Annalvanovna,彼得的侄女)当了女皇.就
在安娜的宠臣欧内斯特的间接统治
10年里,欧拉沉默地埋头工作. 这中间,
那是几个
可是过分的劳累使
他遭受了第一次巨大的不幸.他为了赢得巴黎奖金而投身于一个天文学问题, 有影响的大数学家搞了几个月时间的, 他得了一场病,病中右眼失明了.
欧拉的离世也很特别:在朋友的派对中他中途退场去工作, 去了.
欧拉的专著和论文多达 800多种.小行星欧拉 2002是为了纪念欧拉而命名的.
欧拉在三天之后把它解决了.
最后伏在书桌上安静的
作业
1.
333333 333333 的计算结果的数字和是多少?
2. 甲、乙二人每天背单词,甲背单词的数量每天增加 5 个,乙背单词的数量每天增加 1 倍,已知第一天二人共背了 33 单词, 第二天二人共背了 40 个单词, 那么从第几天起乙 每天背的单词要比甲多,从第几天起乙背过的单词数量要比甲多?
3. 计算:(1) 212 222 232 L 402;(2) 22 42 62 L 422;(3) 12 的结果?
4. 计算: 1 39 2 38 3 37 4 36 L 39 1 .
5. 已知一个平方数加上 143后还是一个平方数,请问两个平方数中较小的那个是多少?
32 52L 232,
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