三角形及其性质
一、单选题（共12题；共24分）
1、等腰三角形的两边长分别为3、6，则该三角形的周长为（ ） A、12或15 B、9 C、12 D、15
2、不一定在三角形内部的线段是（ ） A、三角形的角平分线 B、三角形的中线 C、三角形的高 D、三角形的中位线
3、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ） A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
4、如图所示，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在点C′的位置，则图中的一个等腰直角三角形是（ ）
A、△ADC′ B、△BDC′ C、△ADC D、不存在
5、如图，AD⊥BC，GC⊥BC，CF⊥AB，垂足分别是D、C、F，下列说法中，错误的是（ ）
A、△ABC中，AD是边BC上的高 B、△ABC中，GC是边BC上的高 C、△GBC中，GC是边BC上的高 D、△GBC中，CF是边BG上的高
6、如图，在△ABC中，已知点E、F分别是AD、CE边上的中点，且S2△BEF=4cm ， 则S△ABC的值为（ ）
A、1cm2 B、2cm2 C、8cm2
D、16cm2
7、下列图形中具有稳定性的有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个
D、5个
8、工人师傅要将边长为4m和3m的平行四边形框架固定，现有下列长度的木棒，在木棒的两端钉上达到固定平行四边形的目的，不符合要求的是（ ）
A、2m B、3m C、4m D、8m
9、（2016?滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
则∠CDE的度数为（ ）
A、50° B、51°
1
C、51.5° D、52.5°
10、（2016?自贡）如图，⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（ ）
A、15° B、25° C、30° D、75°
11、（2016?北京）如图所示，用量角器度量∠AOB，可以读出∠AOB的度数为（ ）
A、45° B、55° C、125° D、135°
12、 如图1，点E为矩形ABCD边AD上一点，点P，点Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC 运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1cm/s，设P，Q出发t秒时，△BPQ的面积为ycm，已知y与t的函数关系的图形如图2（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5cm；②当0＜t≤5时，；③直线NH的解析式为
；④若△ABE与△QBP
相似，则t=
秒。其中正确的结论个数为( )
A、4 B、3 C、2 D、1
二、填空题（共5题；共5分）
13、半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为________．
14、在△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O，若∠BOC=132°，则∠A=________度.
15、已知如图所示，∠MON＝40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为________°．
16、如图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有________个．
17、（2016?玉林）如图，已知正方形ABCD边长为1，∠EAF=45°，AE=AF，则有下列结论： ①∠1=∠2=22.5°； ②点C到EF的距离是 -1；
③△ECF的周长为2；
④BE+DF＞EF．
其中正确的结论是________．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题（共1题；共5分）
18、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．
四、综合题（共5题；共65分）
19、如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．
(1)求∠ECD的度数； (2)若CE＝5，求BC长．
20、（2016?天津）已知抛物线C：y=x2﹣2x+1的顶点为P，与y轴的交点为Q，点F（1， ）． (1)求点P，Q的坐标；
(2)将抛物线C向上平移得到抛物线C′，点Q平移后的对应点为Q′，且FQ′=OQ′． ①求抛物线C′的解析式；
②若点P关于直线Q′F的对称点为K，射线FK与抛物线C′相交于点A，求点A的坐标．
21、（2016?重庆）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．
(1)若AB=2 ，求BC的长；
(2)如图1，当点G在AC上时，求证：BD= CG； (3)如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出
的值．
22、（2016?义乌）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．
(1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由．
(2)若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度．
23、（2016?齐齐哈尔）如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣
，0）的两条直线分别交
y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根
(1)求线段BC的长度；
(2)试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由； (3)若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；
(4)在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
3
答案解析部分
一、单选题
【答案】D
【考点】三角形三边关系，等腰三角形的性质
【解析】【解答】根据三角形的性质，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；本题已知等腰三角形的两边长分别为3、6，所以该等腰三角形的腰长为6，所以该三角形的周长为15. 【分析】本题考察三角形的性质，考生对三角形的性质要熟悉是解决本题的关键。 【答案】C
【考点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】根据三角形的高、中线、角平分线的性质解答即可。
在三角形中，它的中线、角平分线一定在三角形的内部，而钝角三角形的高在三角形的外部。 故选C.
【分析】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握三角形的高、中线和角平分线，即可完成。 【答案】C
【考点】三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理的逆定理 【解析】【解答】A∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°∴2∠C=180° ∴∠C=90° 故此选项正确； B∵∠C=90° ∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边 故此选项错误； D∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边 ∴AB=2BC 故此选项正确； 故选C
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解，此题主要考查：①含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
②三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
③勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形
【答案】B
【考点】三角形的角平分线、中线和高，翻折变换（折叠问题） 【解析】
【解答】∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，
由折叠的性质可得：C′D=CD，∠ADC′=∠ADC=45°， ∴∠CDC′=90°，C′D=BD， ∴∠BDC′=180°-∠CDC′=90°， ∴△BDC′是等腰直角三角形． 故选：B．
【分析】此题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判定以及三角形中线的定义．此题难度不大，
注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．由三角形中线的定义，可得BD=CD，又由折叠的性质，易求得∠BDC′=90°，BD=C′D，即可得△BDC′是等腰直角三角形． 【答案】B
【考点】三角形的角平分线、中线和高 【解析】【解答】A项，∵AD⊥BC，
∴△ABC中，AD是边BC上的高正确，故本选项错误； B项，AD是△ABC的边BC上的高，GC不是，故本选项正确； C项，∵GC⊥BC，
∴在△GBC中，GC是边BC上的高正确，故本选项错误； D项，∵CF⊥AB，
∴△GBC中，CF是边BG上的高正确，故本选项错误.
【分析】本题考查了三角形的高，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键. 【答案】D
【考点】三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积 【解析】【解答】∵由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点， ∴△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等， ∴S2
△BEC=2S△BEF=8（cm）， ∴S2△ABC=2S△BEC=16（cm）．
【分析】由于D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，可判断出AD、BE、CE、BF为△ABC、△ABD、△ACD、△BEC的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 【答案】B
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】图（1）是四边形，不具有稳定性；图（2）可看成是由两个三角形组成的，具有稳定性；图（3）可看成是由两个四边形组成的，不具有稳定性；图（4）、图（5）具有稳定性；图（6）不具有稳定性.故有3个.
【分析】此题考查三角形的稳定性.此题中含有组合图形如图（2）、图（3）、图（4）、图（5）、图（6），判断它们是否具有稳定性，观察它们的图形是否可看成三角形的组合图形，如果可以，则具有；否则，不具有. 【答案】D
【考点】三角形的稳定性
【解析】【解答】如图，加上木棒BD可固定平行四边形框架.
∵4+3=7m，4-3=1m，
∴BD的取值范围是：1m＜BC＜7m，
根据三角形具有稳定性，所取木棒的长度在1m到7m之间， ∴只有D选项的8m不在该范围内．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，三角形具有稳定性，以及平行四边形的性质，求出取值范围是解题的关键．
【答案】D
【考点】对顶角、邻补角，三角形内角和定理，三角形的外角性质，等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°， ∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED， ∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°， ∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED= （180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°， 故选D．
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 【答案】C
【考点】三角形的外角性质，圆周角定理 【解析】【解答】解：∵∠A=45°，∠AMD=75°， ∴∠C=∠AMD﹣∠A=75°﹣45°=30°，
∴∠B=∠C=30°， 故选C．
【分析】由三角形外角定理求得∠C的度数，再由圆周角定理可求∠B的度数．本题主要考查了三角形的外角定理，圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 【答案】B 【考点】角的度量
【解析】【解答】解：由图形所示，∠AOB的度数为55°， 故选B．
【分析】由图形可直接得出．本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解
题的关键．
【答案】B
【考点】一次函数的图象，一次函数的应用，二次函数的定义，二次函数的图象，待定系数法求二
次函数解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，与一次函数有关的动态几何问题 【解析】
【解答】①根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C， ∵点P、Q的运动的速度都是1cm/s， ∴BC=BE=5cm，
∴AD=BE=5（故①正确）；
②如图1，过点P作PF⊥BC于点F，
根据面积不变时△BPQ的面积为10，可得AB=4， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠PBF， ∴sin∠PBF=sin∠AEB=，
∴PF=PBsin∠PBF=t，
∴当0＜t≤5时，y=BQ?PF=t?t=t2（故②正确）； ③根据5-7秒面积不变，可得ED=2，
当点P运动到点C时，面积变为0，此时点P走过的路程为BE+ED+DC=11，
5
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