南雄一中八年级数学拓展知识训练（一）
分式
1111、如果abc=1,求证
ab?a?1+bc?b?1+ac?c?1=1
911ba2、已知+=
ab2(a?b)，则a+b等于多少？
3、一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
x2?y22xy4、已知M＝2、N＝2x?y2x?y2，用+或－连结M、N,有三种不同的形式，M+N、
M-N、N-M，请你任取其中一种进行计算，并简求值，其中x：y=5：2
反比例函数：
1、如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数y?
1x
的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .
yAOB
2、如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M（－2，-1），且P（-1，－2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△
OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
图
3、如图21，在平面直角坐标系中，直线AB与Y轴和X轴分别交于点A、点B，与反比例函数y一罟在第一象限的图象交于点c(1，6)、点D(3，x)．过点C作CE上y轴于E，过点D作DF上X轴于F． (1)求m，n的值；
(2)求直线AB的函数解析式；
勾股定理：
1、清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王．近日，??西安发现了他的数学专著，其中有一文《积求勾股法》，它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形，已知面积求边长”这一问题提出了解法：“若所设者为积数（面积），以积率六除之，平方开之得数，再以勾股弦各率乘之，即得勾股弦之数”．用现在的数学语言表述是：“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍，??设其面积
S为S，则第一步：＝m；第二步：m=k；第三步：分别用3、4、5乘以k，得三
6边长”．
（1）当面积S等于150时，请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形
的三边长；
（2）你能证明“积求勾股法”的正确性吗？请写出证明过程．
2、一张等腰三角形纸片，底边长l5cm，底边上的高长22．5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )
A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张
3、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧，
要在沪渝高速公路旁修AB?50km，A、B到直线X的距离分别为10km和40km，
建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和
图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A?，连接BA?S1?PA?PB，
交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2?PA?PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2?PA?PB的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
YBAP图（1）
XP图（2）BABQAXOP图（3）
XA?4、已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G，交AB的延长线于点E，且AE?AC．（1）求证：BG?FG；
A（2）若AD?DC?2，求AB的长．
FBE
G
DC
分式：
111一：如果abc=1,求证
ab?a?1+bc?b?1+ac?c?1=1
解：原式=
aba1++2ab?a?1abc?ab?aabc?abc?ab1aab++
ab?a?11?ab?aa?1?abab?a?1 =
ab?a?1 = =1
911ba二：已知+=，则+等于多少？
2(a?b)abab解：
119+=
ab2(a?b)9a?b=
ab2(a?b)2(a?b)=9ab2a+4ab+2b=9ab2（a?b）=5ab22222a2?b25=ab2ba5+=ab2三：一个圆柱形容器的容积为V立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。
解：设小水管进水速度为x，则大水管进水速度为4x。
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