考点强化练17 直角三角形与锐角三角函数
基础达标
一、选择题
1.已知在△ABC中,∠C=∠A+∠B,则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 C.直角三角形 答案C 2.(2018湖北孝感)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,则sin A等于( )
B.锐角三角形 D.钝角三角形
A.5 C.4 答案A 解析在Rt△ABC中,∵AB=10,AC=8,
33
B.5 D.3 4
4
∴BC=√????2-????2=√102-82=6, ∴sinA=????=10=5,故选A.
二、填空 3.
????6
3
(2018浙江湖州)如图,已知菱形ABCD,对角线AC,BD相交于点O.若tan ∠BAC=3,AC=6,则BD的长是 . 答案2 解析∵四边形ABCD是菱形,AC=6,
1
∴AC⊥BD,OA=2AC=3,BD=2OB.
在Rt△OAB中,∵∠AOD=90°,
1
∴tan∠BAC=????=3, ????1
∴OB=1, ∴BD=2.
4.
(2018浙江宁波)如图,某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB,飞机上的测量人员在C处测得
A,B两点的俯角分别为45°和30°.若飞机离地面的高度CH为1 200米,且点H,A,B在同一水平直
线上,则这条江的宽度AB为 米(结果保留根号). 答案1 200(√3-1) 解析由于CD∥HB,
∴∠CAH=∠ACD=45°,∠B=∠BCD=30°,
在Rt△ACH中,∵∠CAH=45°
∴AH=CH=1200米,
在Rt△HCB中,∵tanB=????, ????∴HB=tan??=tan30° =1200√33
????1200
=1200√3(米).
∴AB=HB-HA =1200√3-1200 =1200(√3-1)米.
三、解答题 5.
(2018江苏徐州)如图,一座堤坝的横截面是梯形,根据图中给出的数据,求坝高和坝底宽.(精确到0.1 m)(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)
解如图所示,过点A,D分别作BC的垂线AE,DF交BC于点E,F,
所以△ABE,△CDF均为直角三角形,又因为CD=14m,∠DCF=30°,所以DF=7(m)=AE,且
FC=7√3(m)≈12.1(m)
所以BC=7+6+12.1=25.1(m).
12√20
6.(2018四川南充)计算:√(1-√2)-1-2+sin 45°+(2).
-1
解原式=√2-1-1++2=7.
√22
3√22
.
小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC,并测得B,C两点的俯角分别为45°,35°.已知大桥BC与地面在同一水平面上,其长度为100 m,请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数)(参考数据:sin 35°≈12,cos 35°≈6,tan 35°≈10) 解作AD⊥BC交CB的延长线于点D,设AD为xm,
7
5
7
由题意得,∠ABD=45°,∠ACD=35°, 在Rt△ADB中,∵∠ABD=45°,∴DB=x. 在Rt△ADC中,∵∠ACD=35°,
∴tan∠ACD=????.
∴??+100=10,解得,x≈233.
答:热气球离地面的高度约为233m.
能力提升
一、选择题
1.已知α为锐角,且2cos (α-10°)=1,则α等于( ) A.50° C.70° 答案C 2.(2018贵州贵阳)如图,A,B,C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tan ∠BAC的值为
( )
B.60° D.80°
??7
????
A.2 答案B 1
B.1
C.3
√3D.√3
解析连接BC,
由网格可得AB=BC=√5,AC=√10, 即AB+BC=AC,
2
2
2
∴△ABC为等腰直角三角形, ∴∠BAC=45°,
则tan∠BAC=1.
3.(2018四川绵阳)一艘在南北航线上的测量船,于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向,继续向南航行30海里到达C点时,测得海岛B在C点的北偏东15°方向,则海岛B离此航线的最近距离是( )(结果保留小数点后两位)(参考数据:√3≈1.732,√2≈1.414) A.4.64海里 C.6.12海里 答案B 解析如图所示,
B.5.49海里 D.6.21海里
由题意知,∠BAC=30°,∠ACB=15°,
作BD⊥AC于点D,以点B为顶点、BC为边,在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°, 则∠BED=30°,BE=CE, 设BD=x,
则AB=BE=CE=2x,AD=DE=√3x,
∴AC=AD+DE+CE=2√3x+2x, ∵AC=30, ∴2√3x+2x=30,
解得:x=15(√3-1)
≈5.49, 2
故选B. 二、填空题
4.(2018山东滨州)在△ABC中,∠C=90°,若tan A=2,则sin B= . 答案2√551
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