2.3.1 直线与平面垂直的判定
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是( )
A．①③ B．② C．②④ D．①②④
解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行． 答案：A
2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是( ) A．5 C．7
B．6 D．8
解析：题图中直角三角形有△ABC，△ADC，△ADB，△PAD，△PAC，△PAB，△PDC，△PDB. 答案：D
3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且
SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成
的角为( ) A．75° C．45°
B．60° D．30°
解析：SO⊥平面ABCD，则∠SAC就是侧棱与底面所成的角，在Rt△
SAO中，SA＝2，AO＝2，∴∠SAO＝45°.
答案：C
4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( ) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C. 答案：C
5．已知P是△ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△
ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．中心 解析：如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，又因为∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以OD＝OE＝OF，因为PO⊥AB，
PD⊥AB，且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理可证得OF⊥BC，OE⊥AC.又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离
相等，故点O为△ABC的内心，故选A. 答案：A
6．在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝
OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是
________．
解析：画出三棱锥(图略)，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角
OC1
形OMC中求解，易知tan∠OMC＝＝＝2.
OM2
2
答案：2
7．已知a，b，c是三条直线，α是平面．若c⊥a，c⊥b，a?α，
b?α，且________(填上一个条件即可)，则有c⊥α.
解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c⊥α，需c垂直平面α内的两条相交直线． 答案：a∩b＝A
8.如图所示，在正三棱锥A-BCD中，E，F分别为BD，
AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为
________．
解析：因为三棱锥A-BCD为正三棱锥，所以可证AB⊥CD.又EF⊥CF，所以AB⊥CF，所以AB⊥平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的角为∠BDA＝45°. 答案：45°
9.如图，在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点
A在SB和SC上的射影分别为N、M.
求证：MN⊥SC.
证明：∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC. ∵∠B＝90°，即AB⊥BC，AB∩SA＝A， ∴BC⊥平面SAB.
∵AN?平面SAB，∴BC⊥AN.
又∵AN⊥SB，SB∩BC＝B，∴AN⊥平面SBC.
∵SC?平面SBC.∴AN⊥SC.
又∵AM⊥SC，AM∩AN＝A，∴SC⊥平面AMN. ∵MN?平面AMN，∴SC⊥MN.
10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.
(1)求证：CD⊥平面ABC；
(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小． 解析：(1)证明：∵BD是底面圆的直径， ∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD?平面BCD， ∴AB⊥CD.∵AB∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC.
(2)取AC的中点E，连接DE(图略)，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°， ∴BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∴直线BD与面ACD所成的角为∠BDE. 而BE⊥面ACD，则BE⊥ED， 即△BED为直角三角形．
又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝22，BE＝2，
BE1
∴sin∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°.
BD2
[B组 能力提升]
1.如图所示，在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面
ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并
且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的( )
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