高一数学不等式解法经典例题

实用文案

典型例题一

32例1 解不等式：（1）2x?x?15x?0；（2）(x?4)(x?5)(2?x)?0．

23分析：如果多项式f(x)可分解为n个一次式的积，则一元高次不等式f(x)?0（或

f(x)?0）可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况．

解：（1）原不等式可化为

x(2x?5)(x?3)?0

把方程x(2x?5)(x?3)?0的三个根x1?0,x2??,x3?3顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分．

52

∴原不等式解集为?x?（2）原不等式等价于

??5??x?0或x?3? 2?(x?4)(x?5)2(x?2)3?0 ?x??5?x?5?0????(x?4)(x?2)?0??x??4或x?2∴原不等式解集为xx??5或?5?x??4或x?2

说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中x的系数必为正；②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但注意“奇穿偶不穿”，其法如下图．

??

典型例题二

标准文档

实用文案

例2 解下列分式不等式：

x2?4x?132?1 （1）； （2）2?1?3x?7x?2x?2x?2分析：当分式不等式化为

f(x)?0(或?0)时，要注意它的等价变形 g(x)①

f(x)?0?f(x)?g(x)?0 g(x)②

?f(x)?g(x)?0f(x)f(x)?0??或?0?f(x)?0或f(x)?g(x)?0

g(x)?0g(x)g(x)?

（1）解：原不等式等价于

3x3x????0x?2x?2x?2x?23(x?2)?x(x?2)?x2?5x?6??0??0(x?2)(x?2)(x?2)(x?2)??(x?6)(x?1)(x?2)(x?2)?0(x?6)(x?1)?0??(x?2)(x?2)?(x?2)(x?2)?0

用“穿根法”

∴原不等式解集为(??,?2)???1,2???6,???。

2x2?3x?1?0 （2）解法一：原不等式等价于 23x?7x?2?(2x2?3x?1)(3x2?7x?2)?022??2x?3x?1?0??2x?3x?1?0??2或?2 ??3x?7x?2?0??3x?7x?2?011?x?或?x?1或x?23211∴原不等式解集为(??,)?(,1)?(2,??)。

32

标准文档

实用文案

解法二：原不等式等价于

(2x?1)(x?1)?0

(3x?1)(x?2)?(2x?1)(x?1)(3x?1)?(x?2)?0

用“穿根法”

∴原不等式解集为(??,)?(,1)?(2,??)

1312典型例题三

例3 解不等式x2?4?x?2

分析：解此题的关键是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种方法：一是根据绝对值的意义a???a(a?0)

?a(a?0)?二是根据绝对值的性质：x?a??a?x?a,x.a?x?a或x??a，因此本题有如下两种解法．

22???x?4?0?x?4?0或?解法一：原不等式??

22??x?4?x?2??4?x?x?2即??x?2或x??2??2?x?2或?

??2?x?x?x??2或x?1∴2?x?3或1?x?2

故原不等式的解集为x1?x?3．

解法二：原不等式等价于 ?(x?2)?x?4?x?2

2??2???2?x?3?x?4?x?2故1?x?3． 即? ∴?2??x?4??(x?2)?x?1或x??2

典型例题四

标准文档