2018-2019学年山东省青岛市市南区九年级（下）期中数学试卷
一．选择题（共8小题）
1．一个数的相反数是3，这个数是（ ） A．﹣3
B．3
C．
D．
2．中国科学院国家天文台日前向全球发布郭守敬望远镜7年巡天光谱数据，其中高质量光谱达到9370000条，约是轨迹上其他巡天项目发布光谱数之和的2倍，将9370000用科学记数法可以表示为（ ） A．9.37×106
﹣
B．937×104 C．9.37×106 D．9.37×107
3．如图，已知点A，B的坐标分别是（﹣4，3）和（﹣1，4），把原点O和点A，B依次连接起来，得到△OAB，现将△OAB绕原点按逆时针方向旋转90°后，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4）
B．（﹣4，﹣3）
C．（3，4）
D．（4，3）
4．下列运算正确的是（ ） A．2a+2b＝2ab C．3ab2÷ab＝b
B．（﹣a2b）3＝a6b3 D．2ab?a3b＝2a4b2
5．如图，等边△ABC的边长为a，将它绕其中心旋转180°，则旋转前后两个三角形重叠部分（阴影）的面积是（ ）
A．
a2
B．
a2
C．
a2
D．
a2
6．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成（x+a）2＝b（b＞0）的形式，
则k的值可能是（ ） A．0
B．2
C．3
D．
7．如图，点A、B、C都在6×6的方格纸的格点上，若该方格纸上还有一格点D，使得格点A、B、C、D能组成一个轴对称图形，则满足条件的格点D的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣3x+10交于点B，P是线段AB的中点，已知反比例函数y＝的图象经过点P，则k的值为（ ）
A．1
B．3
C．6
D．8
二．填空题（共6小题） 9．计算：
+（）2﹣cos30°＝ ．
﹣
10．甲、乙两人参加射击比赛，下表记录了两人连续5次的射击成绩．通过这5次成绩，可以看出成绩比较稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
次数 环数 甲 乙
2 3
6 5
7 6
7 8
8 8
1
2
3
4
5
11．如图，AD为⊙O的直径，A，B，C三点在⊙O上，AB＝BC，BD交AC于点E，∠ABC＝110°，则∠CAD为 °．
12．函数y＝a（x+m）2+n图象上的两个点的坐标分别为（﹣2，0），（1，0）（其中a，m，n是常数，a≠0），则方程a（x+m﹣5）2+n＝0的解是 ．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为 ．
14．如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为 cm．
三．解答题（共10小题）
15．如图，现有一张平行四边形纸片ABCD，李老师想用这张纸片裁出一个尽可能大的圆形教具，请你帮李老师在图中画出符合条件的圆．
16．（1）化简：（a﹣
）÷
（2）求不等式组的整数解．
17．一个盒子中装有2个红球，1个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，小明和小凡准备用这些球做游戏，游戏规则如下：从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次摸到的球的颜色都是红色，小明胜；若两次摸到的球的颜色能配成紫色，则小凡胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
18．如图，要测量一垂直于水平面的建筑物AB的高度，小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走30米到达点C，又经过一段坡角为30°，长为20米的斜坡CD，然后再沿水平方向向右走了50米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin24°≈，cos24°≈
，tan24°＝
）
19．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格．某校为了解学生的体质健康情况，从八年级学生中随机抽取了10%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如下统计图．请根据相关信息解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，“优秀”等级所在扇形圆心角的度数是多少？
（2）求参加本次测试学生的平均成绩；
（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有35人，请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人．
20．某工程队承接一铁路工程，在挖掘一条500米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了25天完成了其中300米的隧道挖掘任务． （1）求实际每天挖掘多少米？
（2）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过70天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H． （1）求证：△AFG≌△CHE；
（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
22．某商场在试销一种进价为20元/件的商品时，每天不断调整该商品的售价以期获利更多，经过20天的试销发现，第一天销售量为78件，以后每天销售量总比前一天减少2件，且第1天至第10天，商品销售单价p与天数x满足：p＝30+x；第11天至第20天，商品销售单价p与天数x满足：p＝20+
．
（1）写出销售量y（件）与天数x（天）的函数关系式；
（2）求商场销售该商品的20天里每天获得的利润w（元）与x的函数关系式； （3）该商品试制期间，第几天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 23．问题提出：将正m边形（m≥3）不断向外扩展，每扩展一个正m边形每条边上的点的个数（以下简称“点数”）就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？
如图1﹣1，1个正三角形的点数总共有3个；如图1﹣2，2个正三角形的点数总共有6个；如图1﹣3，3个正三角形的点数总共有10个；…；n个正三角形的点数总共有 个．
探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？
如图2﹣1，1个正四边形的点数总共有4个；如图2﹣2，2个正四边形的点数总共有9个；
如图2﹣3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点．因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10﹣4＝16（个）．
如图2﹣4，4个正四边形的点数总共有 个；……n个正四边形的点数总共有 个．
探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？
类比探究二的方法，求4个正五边形的点数总共有多少个？并叙述你的探究过程． n个正五边形的点数总共有 个．
探究四：n个正六边形的点数总共有 个．
问题解决：n个正m边形的点数总共有 个．
实际应用：若99个正m边形的点数总共有39700个，求m的值．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是BC上一点，且CE＝1cm．点P由点C出发，沿CD方向向点D匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发，沿AD方向向点D匀速运动，速度为cm/s，点P，Q同时出发，PQ交BD于F，连接PE，QB，设运动时间为t（s）（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，PE∥BD？
（2）设△FQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使得四边形BQPE的周长最小．若存在，求出此四边形BQPE的面积；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．一个数的相反数是3，这个数是（ ） A．﹣3
B．3
C．
D．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数． 【解答】解：3的相反数是﹣3， 故选：A．
2．中国科学院国家天文台日前向全球发布郭守敬望远镜7年巡天光谱数据，其中高质量光谱达到9370000条，约是轨迹上其他巡天项目发布光谱数之和的2倍，将9370000用科学记数法可以表示为（ ） A．9.37×106
﹣
B．937×104 C．9.37×106 D．9.37×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：9370000＝9.37×106． 故选：C．
3．如图，已知点A，B的坐标分别是（﹣4，3）和（﹣1，4），把原点O和点A，B依次连接起来，得到△OAB，现将△OAB绕原点按逆时针方向旋转90°后，则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（﹣3，﹣4）
B．（﹣4，﹣3）
C．（3，4）
D．（4，3）
【分析】画出图形，利用图象法解决问题． 【解答】解：观察图形可知A′（﹣3，﹣4）．
故选：A．
4．下列运算正确的是（ ） A．2a+2b＝2ab C．3ab2÷ab＝b
B．（﹣a2b）3＝a6b3 D．2ab?a3b＝2a4b2
【分析】直接利用整式的混合运算法则分别计算判断即可． 【解答】解：A、2a+2b，不是同类项，无法合并，故此选项错误； B、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故此选项错误； C、3ab2÷ab＝9b，故此选项错误； D、2ab?a3b＝2a4b2，正确． 故选：D．
5．如图，等边△ABC的边长为a，将它绕其中心旋转180°，则旋转前后两个三角形重叠部分（阴影）的面积是（ ）
A．
a2
B．
a2
C．
a2
D．
a2
【分析】根据等边三角形的特殊性，重叠部分为正六边形，四周空白部分的小三角形是等边三角形，从而得出重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差． 【解答】解：根据旋转的意义，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为，面积是△ABC的．
仔细观察图形，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，
△ABC的面积是
，
所以重叠部分的面积是故选：D．
＝
，一个小等边三角形的面积是
．
6．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成（x+a）2＝b（b＞0）的形式，则k的值可能是（ ） A．0
B．2
C．3
D．
【分析】把选项中的k的值代入，得出方程，再解方程，即可得出选项．
【解答】解：A、当k＝0时，方程为﹣6x+3＝0，不能化成（x+a）2＝b（b＞0）的形式，故本选项不符合题意；
B、当k＝2时，方程为2x2﹣6x+3＝0， x2﹣3x＝﹣，
x2﹣3x+（）2＝﹣+（）2， （x﹣）2＝，故本选项符合题意； C、当k＝3时，方程为3x2﹣6x+3＝0， x2﹣2x+1＝0，
（x﹣2）2＝0，b＝0，故本选项不符合题意； D、当k＝时，方程为x2﹣6x+3＝0， 9x2﹣12x+6＝0， 9x2﹣12x+4＝﹣2，
（3x﹣2）2＝﹣2，b＜0，故本选项不符合题意； 故选：B．
7．如图，点A、B、C都在6×6的方格纸的格点上，若该方格纸上还有一格点D，使得格点A、B、C、D能组成一个轴对称图形，则满足条件的格点D的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【分析】分别以AC的垂直平分线，AB所在直线，BC所在直线为对称轴，即可得到满足条件的所有点D的位置．
【解答】解：如图所示，点D1，D2，D3即为所求． 故选：C．
8．如图，直线y＝x+2与y轴交于点A，与直线y＝﹣3x+10交于点B，P是线段AB的中点，已知反比例函数y＝的图象经过点P，则k的值为（ ）
A．1
B．3
C．6
D．8
【分析】先求出直线y＝x+2与坐标轴的交点A坐标，再由两条直线解析式构成方程组，解方程组求得B点坐标，进而求得中点P的坐标，问题就迎刃而解了． 【解答】解：直线y＝x+2中，令x＝0，得y＝2， ∴A（0，2）， 解
∴B（2，4），
得
，
∵P是线段AB的中点， ∴P（1，3），
把P（1，3）代入y＝中，得k＝3， 故选：B．
二．填空题（共6小题） 9．计算：
+（）2﹣cos30°＝
﹣
+4 ．
【分析】原式利用二次根式性质，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．
【解答】解：原式＝2＝
+4，
+4
+4﹣
故答案为：
10．甲、乙两人参加射击比赛，下表记录了两人连续5次的射击成绩．通过这5次成绩，可以看出成绩比较稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”）．
次数 环数 甲 乙
2 3
6 5
7 6
7 8
8 8
1
2
3
4
5
【分析】根据平均数和方差的公式求出甲和乙的方差，再根据方差的意义即可得出答案． 【解答】解：甲的平均数为：（2+6+7+7+8）＝6，
甲的方差为：[（2﹣6）2+（6﹣6）2+（7﹣6）2+（7﹣6）2+（8﹣6）2]＝4.4， 乙的平均数为：（3+5+6+8+8）＝6，
乙的方差为：[（3﹣6）2+（5﹣6）2+（6﹣6）2+（8﹣6）2+（8﹣6）2]＝3.6， ∵甲的方差＞乙的方差， ∴成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙．
11．如图，AD为⊙O的直径，A，B，C三点在⊙O上，AB＝BC，BD交AC于点E，∠ABC
＝110°，则∠CAD为 20 °．
【分析】利用圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠CAD＝∠DBC，然后计算∠DBC即可、 【解答】解：∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ABC＝110°，
∴∠DBC＝110°﹣90°＝20°． ∴∠CAD＝∠DBC＝20°． 故答案为20．
12．函数y＝a（x+m）2+n图象上的两个点的坐标分别为（﹣2，0），（1，0）（其中a，m，n是常数，a≠0），则方程a（x+m﹣5）2+n＝0的解是 x1＝3，x2＝6 ．
【分析】把方程a（x+m﹣5）2+n＝0的解可看作二次函数y＝a（x+m﹣5）2+n与x轴的交点的横坐标，利用抛物线的平移，把抛物线y＝a（x+m）2+n向右平移5个单位得到y＝a（x+m﹣5）2+n，然后确定抛物线y＝a（x+m﹣5）2+n与x轴的两个交点的坐标即可． 【解答】解：方程a（x+m﹣5）2+n＝0的解可看作二次函数y＝a（x+m﹣5）2+n与x轴的交点的横坐标，
∵抛物线y＝a（x+m）2+n向右平移5个单位得到y＝a（x+m﹣5）2+n， 而抛物线y＝a（x+m）2+n与x轴的两个交点的坐标为（﹣2，0），（1，0）， ∴抛物线y＝a（x+m﹣5）2+n与x轴的两个交点的坐标为（3，0），（6，0）， ∴方程a（x+m﹣5）2+n＝0的解是x1＝3，x2＝6． 故答案为x1＝3，x2＝6．
13．如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是边BC上一点，BE＝1，将△ABE，△ADF分别沿折痕AE，AF向内折叠，点B，D在点G处重合，过点E作EH⊥AE，交AF的延长线于H，则线段FH的长为
．
【分析】设DF＝FG＝x，在Rt△EFC中，由EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x，根据勾股定理构建方程求出x，再求出AF，AH即可解决问题． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝3， 设DF＝FG＝x，
在Rt△EFC中，∵EF＝1+x，EC＝3﹣1＝2，FC＝3﹣x， ∴（x+1）2＝22+（3﹣x）2， 解得x＝ ∴AF＝
＝
＝
，AE＝
＝
＝
，
由翻折的性质可知，∠DAF＝∠GAF，∠EAB＝∠EAG， ∴∠EAH＝45°， ∵EH⊥EA， ∴∠AEH＝90°， ∴AE＝EH＝
，AH＝
﹣
AE＝2＝
， ，
∴FH＝AH﹣AF＝2故答案为
．
14．如图，一“L”型纸片是由5个边长都是10cm的正方形拼接而成，过点I的直线分别与AE，JN交于点P，Q，且“L”型纸片被直线PQ分成面积相等的上下两部分，将该纸片沿BG，CH，DI，IJ折成一个无盖的正方体盒子后，点P，Q之间的距离为 10 cm．
【分析】首先证明PB+QJ＝10，在立体图形中，证明四边形BGQP为矩形，根据矩形的
性质解答即可．
【解答】解：平面图形中，∵IJ∥PE， ∴△QIJ∽△QPE， ∴
＝
，即
＝
，
∴10EQ+10PE＝PE?EQ，
∵图L被直线PQ分成面积相等的上、下两部分， ∴×PE?EQ＝×5×100＝250， ∴PE?QE＝500，即PE+QE＝50（cm）， ∴PB+JQ＝50﹣40＝10（cm）， 立体图形中，连接MN， ∵PB+JQ＝10，JQ+QG＝10， ∴PB＝QG，
∴四边形BGQP为矩形， ∴PQ＝BG＝10（cm）， 故答案为10．
三．解答题（共10小题）
15．如图，现有一张平行四边形纸片ABCD，李老师想用这张纸片裁出一个尽可能大的圆形教具，请你帮李老师在图中画出符合条件的圆．
【分析】抓住题干中“裁下一个尽可能大的圆”，那么这个圆的直径就是这个平行四边形的竖直宽度． 【解答】解：如图，
圆O即为所求． 16．（1）化简：（a﹣
）÷
（2）求不等式组的整数解．
【分析】（1）根据分式的运算法则即可求出答案． （2）根据一元一次不等式组即可求出答案． 【解答】解：（1）原式＝
?
＝＝
．
（2）
由①得：x≥﹣3， 由②得：x＜，
，
∴该不等式组的解集为：3≤x＜
17．一个盒子中装有2个红球，1个白球和1个蓝球，这些球除颜色外都相同，小明和小凡准备用这些球做游戏，游戏规则如下：从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次摸到的球的颜色都是红色，小明胜；若两次摸到的球的颜色能配成紫色，则小凡胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两次摸到的球的颜色都是红色的情况数以及两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况数，然后根据概率公式求出各自的概率，
最后进行比较即可得出答案． 【解答】解：根据题意画图如下：
∵共有16种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能是红色的有4种情况，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有4种，
∴两次摸到的球的颜色都是红色的概率是率是
＝；
＝，两次摸到的球的颜色能配成紫色的概
∴这个游戏对双方公平．
18．如图，要测量一垂直于水平面的建筑物AB的高度，小明从建筑物底端B出发，沿水平方向向右走30米到达点C，又经过一段坡角为30°，长为20米的斜坡CD，然后再沿水平方向向右走了50米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，求建筑物AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin24°≈，cos24°≈
，tan24°＝
）
【分析】作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．首先解直角三角形Rt△CDN，求出CN，DN，再根据tan24°＝
，构建方程即可解决问题．
【解答】解：作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．
在Rt△CDN中，∵∠CDN＝30°，CD＝20米， ∴CN＝CD?sin30°＝10米，DN＝CD?cos30°＝5∵四边形BMNC是矩形，
∴BM＝CN＝10米，BC＝MN＝30米，EM＝MN+DN+DE＝（80+5在Rt△AEM中，tan24°＝∴
＝
， ．
米． ，
）米，
米，
∴AB＝
答：建筑物AB的高度是
19．《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准：90分及以上为优秀；80分～89分为良好；60分～79分为及格；60分以下为不及格．某校为了解学生的体质健康情况，从八年级学生中随机抽取了10%的学生进行了体质测试，并将测试数据制成如下统计图．请根据相关信息解答下面的问题：
（1）扇形统计图中，“优秀”等级所在扇形圆心角的度数是多少？ （2）求参加本次测试学生的平均成绩；
（3）若参加本次测试“良好”及“良好”以上等级的学生共有35人，请你估计全校八年级“不及格”等级的学生大约有多少人．
【分析】（1）用360°乘以“优秀”所占的百分比即可得出答案； （2）利用加权平均数公式计算即可；
（3）根据“良好”及“良好”以上等级的学生数和所占的百分比求出抽取的人数，再求出全校的总人数，然后乘以“不及格”等级的学生所占的百分比即可得出答案． 【解答】解：（1）“优秀”等级所在扇形圆心角的度数是360°×（1﹣50%﹣25%﹣5%）＝72°；
（2）参加本次测试学生的平均成绩是：94×（1﹣50%﹣25%﹣5%）+86×50%+72×25%+40×5%＝82.7（分）；
（3）根据题意得：
35÷（1﹣50%﹣25%﹣5%+50%）÷10%×5%＝25（人）， 答：全校八年级“不及格”等级的学生大约有25人．
20．某工程队承接一铁路工程，在挖掘一条500米长的隧道时，为了尽快完成，实际施工时每天挖掘的长度是原计划的1.5倍，结果提前了25天完成了其中300米的隧道挖掘任务． （1）求实际每天挖掘多少米？
（2）由于气候等原因，需要进一步缩短工期，要求完成整条隧道不超过70天，那么为了完成剩下的任务，在实际每天挖掘长度的基础上，至少每天还应多挖掘多少米？ 【分析】（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘1.5x米，根据结果提前了25天完成了其中300米的隧道挖掘任务，列方程求解；
（2）设每天还应多挖掘y米．根据完成该项工程的工期不超过70天，列不等式进行分析．
【解答】解：（1）设原计划每天挖掘x米，则实际每天挖掘1.5x米， 根据题意得：解得x＝4．
经检验，x＝4是原分式方程的解，且符合题意， 则1.5x＝6
答：实际每天挖掘6米．
﹣
＝25，
（2）设每天还应多挖掘y米， 由题意，得（70﹣解得y≥4．
答：每天还应多挖掘4米．
21．已知：如图，在矩形ABCD中，E是边BC上一点，过点E作对角线AC的平行线，交AB于F，交DA和DC的延长线于点G，H． （1）求证：△AFG≌△CHE；
（2）若∠G＝∠BAC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明你的结论．
）（6+y）≥500﹣300，
【分析】（1）根据SAS可以证明两三角形全等；
（2）先根据平行线的性质和已知可得∠BAC＝45°，所以△ABC是等腰直角三角形，所以AB＝BC，可得结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD，∠BAD＝∠BCD＝90° ∴∠GAB＝∠B＝∠BCH， ∵AD∥BC，EF∥AC， ∴四边形AGEC是平行四边形， ∴AG＝EC， ∵AB∥CD，EF∥AC
∴四边形AFHC是平行四边形， ∴AF＝CH，
∴△AFG≌△CHE（SAS）． （2）四边形ABCD是正方形 理由：∵EF∥AC， ∴∠G＝∠CAD， ∵∠G＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠CAD， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∵∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°， ∴BA＝BC，
∴矩形ABCD是正方形．
22．某商场在试销一种进价为20元/件的商品时，每天不断调整该商品的售价以期获利更多，经过20天的试销发现，第一天销售量为78件，以后每天销售量总比前一天减少2件，且第1天至第10天，商品销售单价p与天数x满足：p＝30+x；第11天至第20天，商品销售单价p与天数x满足：p＝20+
．
（1）写出销售量y（件）与天数x（天）的函数关系式；
（2）求商场销售该商品的20天里每天获得的利润w（元）与x的函数关系式； （3）该商品试制期间，第几天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少？ 【分析】（1）设P与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（1，78），（2，76）代入关系式就可以求出结论；
（2）设前10天每天的利润为w1（元），后10天每天的利润为w2（元），由日销售利润＝每天的销售量×每公斤的利润就可以分别表示出w1与w2与x的关系；
（3）当1≤x≤10，得到当x＝10时，w1有最大值＝1200元，当11≤x≤20，当x＝11时，w2有最大值＝580元，比较即可得到结论．
【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，由题意，得
，
∴销售量y（件）与天数x（天）的函数关系式为：y＝﹣2x+80； （2）设前10天每天的利润为w1（元），后10天每天的利润为w2（元）， 由题意，得 w1＝（p﹣20）y
＝（30+x﹣20）（﹣2x+80）， ＝﹣2x2+60x+800， w2＝（p﹣20）y
，解得：
＝（20+＝
﹣20）（﹣2x+80）， ﹣220；
（3）当1≤x≤10，w1＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250， ∴当x＝10时，w1有最大值＝1200元， 当11≤x≤20，w2＝
﹣220，
∴当x＝11时，w2有最大值＝580元， ∵1200＞580，
∴第10天销售该商品获得的利润最大，最大利润是1200元．
23．问题提出：将正m边形（m≥3）不断向外扩展，每扩展一个正m边形每条边上的点的个数（以下简称“点数”）就增加一个，则n个正m边形的点数总共有多少个？ 问题探究：为了解决上面的问题，我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：n个正三角形的点数总共有多少个？
如图1﹣1，1个正三角形的点数总共有3个；如图1﹣2，2个正三角形的点数总共有6个；如图1﹣3，3个正三角形的点数总共有10个；…；n个正三角形的点数总共有
个．
探究二：n个正四边形的点数总共有多少个？
如图2﹣1，1个正四边形的点数总共有4个；如图2﹣2，2个正四边形的点数总共有9个；
如图2﹣3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，
BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点．因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10﹣4＝16（个）． 如图2﹣4，4个正四边形的点数总共有 25 个；……n个正四边形的点数总共有 （n+1）
2
个．
探究三：n个正五边形的点数总共有多少个？
类比探究二的方法，求4个正五边形的点数总共有多少个？并叙述你的探究过程． n个正五边形的点数总共有
（n+1）（3n+2） 个．
探究四：n个正六边形的点数总共有 （n+1）（2n+1） 个．
问题解决：n个正m边形的点数总共有 （n+1）[
+1] 个．
实际应用：若99个正m边形的点数总共有39700个，求m的值． 【分析】探究一：n个正三角形的点数总个数是前（n+1）个数的和； 探究二：4，9，16，25…，发现n个正四边形的点数总共有（n+1）2个；
探究三：如图3﹣1，直接数点的个数为5个，如图3﹣2，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是3×6＝18个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：3×6﹣2×3＝12个；同理得如图3﹣3，3个正五边形的点数总共有：3×10﹣2×4＝22个；如图3﹣4，4个正五边形的点数总共有：3×15﹣2×5＝35个，确定规律得：n个正五边形的点数总共有：（n+1）（3n+2）个； 探究四：如图3﹣1，直接数点的个数为6个，如图4﹣2，连接A'C'，A'D'，A'E'，得到4
个三角形，每个三角形都有1+2+3＝6个点，就是24个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：4×6﹣3×3＝15个；同理得点的个数依次为：28，45＝5×9，…，（n+1）（2n+1）个； 问题解决：根据以上规律可得结论；
实际应用：将n＝99代入问题解决的等式中解方程即可． 【解答】解：探究一：
如图1﹣1，1个正三角形的点数总共有3个，即3＝1+2； 如图1﹣2，2个正三角形的点数总共有6个，即6＝1+2+3； 如图1﹣3，3个正三角形的点数总共有10个，即10＝1+2+3+4； …；
n个正三角形的点数总共有：1+2+3+…+n+（n+1）＝故答案为：探究二：
如图2﹣1，1个正四边形的点数总共有4个，即4＝22； 如图2﹣2，2个正四边形的点数总共有9个，即9＝32；
如图2﹣3，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即4个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有10个点，两个三角形就是2×10个点．因为这两个三角形在AC上有4个点重合，所以3个正四边形的点数总共有2×10﹣4＝16（个），即16＝42；
如图2﹣4，连接AC，得到两个三角形△ABC和△ADC，这两个三角形相同之处在于，BC边与CD边都有相同个数的点，即5个点，并且与BC、CD平行的边上依次减少一个点直至顶点A，每个三角形都有15个点，两个三角形就是2×15个点．因为这两个三角形在AC上有5个点重合，所以4个正四边形的点数总共有2×15﹣5＝25（个），即25＝52；
；
个；
∴n个正四边形的点数总共有2×故答案为：25，（n+1）2； 探究三：
﹣（n+1）＝n2+2n+1＝（n+1）2个；
如图3﹣1，1个正五边形的点数总共有5个，即5＝
；
如图3﹣2，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有6个点，就是3×6＝18个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正五边形的点数总共有：3×6﹣2×3＝12个，即12＝
；
如图3﹣3，连接A'C'，A'D'，得到三个三角形，每个三角形都有10个点，就是3×10＝30个点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正五边形的点数总共有：3×10﹣2×4＝22个，即22＝
；
如图3﹣4，连接AC，AD，得到三个三角形，每个三角形都有15个点，就是3×15＝45个点，因为每两个三角形有5个点重合，所以，4个正五边形的点数总共有：3×15﹣2×5＝35个，即35＝…
同理得：n个正五边形的点数总共有：（n+1）（3n+2）个； 故答案为：（n+1）（3n+2）； 探究四：
；
如图4﹣1，1个正六边形的点数总共有6个，即6＝2×3；
如图4﹣2，连接A'C'，A'D'，A'E'，得到4个三角形，每个三角形都有6个点，就是4×6＝24个点，因为每两个三角形有3个点重合，所以，2个正六边形的点数总共有：4×6﹣3×3＝15个，即15＝3×5；
如图4﹣3，连接AC，AD，AE，得到4个三角形，每个三角形都有10个点，就是4×10＝40个点，因为每两个三角形有4个点重合，所以，3个正六边形的点数总共有：4×10﹣3×4＝28个，即28＝4×7； …
同理得：4个六五边形的点数总共有：5×9＝45个； n个正六边形的点数总共有：（n+1）（2n+1）个； 故答案为：（n+1）（2n+1）； 问题解决：
∵n个正三角形的点数总共有：（n+1）（n+1）个； n个正四边形的点数总共有：（n+1）（n+1）个； n个正五边形的点数总共有：（n+1）（n+1）个； n个正六边形的点数总共有：（n+1）（2n+1）个； …
∴n个正m边形的点数总共有：（n+1）[故答案为：（n+1）[实际应用：
由规律得：n＝99时，（99+1）（99×解得：m＝10．
24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝3cm，BC＝4cm，点E是
+1）＝39700，
+1]；
+1]个；
BC上一点，且CE＝1cm．点P由点C出发，沿CD方向向点D匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发，沿AD方向向点D匀速运动，速度为cm/s，点P，Q同时出发，PQ交BD于F，连接PE，QB，设运动时间为t（s）（0＜t＜3）． （1）当t为何值时，PE∥BD？
（2）设△FQD的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．
（3）是否存在某一时刻t，使得四边形BQPE的周长最小．若存在，求出此四边形BQPE的面积；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当
＝
时，PE∥BD，由此构建方程即可解决问题．
（2）作FH⊥DQ．首先证明QF∥OA，△QDF是等腰三角形，求出FH即可解决问题． （3）如图2中，作B关于直线AD的对称点B′，点E关于直线CD的对称点E′，连接B′E′交AD于Q，交CD于P，连接BQ，PE．此时BQ+QP+PE+BE的值最小． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，∠BAD＝90°， ∴BD＝AC＝
＝
＝5，
∴OA＝OC＝OD＝OB＝， ∵当
＝
时，PE∥BD，
∴＝，
∴t═s时，PE∥BC．
（2）如图1中，作FH⊥DQ．
∵AQ＝t，PC＝t，
∵∴
＝＝
＝，，
＝，
∴FQ∥OA， ∴∠FQD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠FDQ＝∠FQD， ∴FQ＝FD，∵FH⊥DQ， ∴HD＝HQ＝DQ＝（4﹣t）， ∵tan∠ADB＝∴＝
＝，
，
∴FH＝﹣，
∴y＝DQ?FH＝?（4﹣t）（﹣t）＝t2﹣2t+3（0＜t＜3）?．
（3）如图2中，作B关于直线AD的对称点B′，点E关于直线CD的对称点E′，连接B′E′交AD于Q，交CD于P，连接BQ，PE．
∵BQ+QP+PE+BE＝B′Q+QP+PE′+BE＝B′E′+BE＝B′E′+3， ∴此时BQ+QP+PE+BE的值最小， B′E′＝
＝
＝，∴四边形BQPE的周长的最小值为3+．
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