第二十六章 二次函数
【课标要求】 考点 课标要求 理解二次函数的意义 会用描点法画出二次函数的图像 会确定抛物线开口方向、顶点坐标和对称轴 二次函数 通过对实际问题的分析确定二次函数表达式 理解二次函数与一元二次方程的关系 会根据抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的图像来确定a、b、c的符号 知识与技能目标 了解 理解 掌握 灵活应用 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ 【知识梳理】
1.定义：一般地，如果y?ax?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数.
22.二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中
22b4ac?b2h??，k?.
2a4a3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0.
4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 5.求抛物线的顶点、对称轴的方法
b4ac?b2b?4ac?b2?（?，） （1）公式法：y?ax?bx?c?a?x?，∴顶点是，??2a4a2a?4a?22
·2· 新动力教育 数学杨老师 对称轴是直线x??b. 2a2 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x?h.
（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线y?ax?bx?c中，a,b,c的作用
（1）a决定开口方向及开口大小，这与y?ax中的a完全一样.
（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax?bx?c的对称轴是直线
222bb，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴2aab在y轴左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧.
ax?? （3）c的大小决定抛物线y?ax?bx?c与y轴交点的位置.
当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负
半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则
22b?0. a7.用待定系数法求二次函数的解析式
（1）一般式：y?ax?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
22 （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?. 12.直线与抛物线的交点
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（1）y轴与抛物线y?ax?bx?c得交点为(0, c).
（2）与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax?bx?c有且只有一个交点
22?bh?c).
（3）抛物线与x轴的交点
二次函数y?ax?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点
同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax?bx?c?k的两个实数根.
（5）一次函数y?kx?n?k?0?的图像l与二次函数y?ax?bx?c?a?0?的图像G22(h,ah222的交点，由方程组 y?kx?ny?ax?bx?c2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时?l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时?l与G只有一个交点；③方程组无解时?l与
G没有交点.
2（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y?ax?bx?c与x轴两交点为
A?x1，0?，B?x2，0?，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2?【能力训练】
?x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2???????
aaa?a?21．二次函数y=－x2＋6x－5，当x 时， y?0，且y随x的增大而减小。
·4· 2新动力教育 数学杨老师 2.抛物线y?x?2mx?(m?2)的顶点坐标在第三象限，则m的值为（ ） A．m??1或m?2 B．m?0或m??1 C．?1?m?0 D．m??1 ． 3．抛物线y=x2－2x＋3的对称轴是直线（ ） A．x =2 B．x =－2 C．x =－1 D．x =1
4． 二次函数y=x2+2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是（ ） A．3 B．5 C．－3和5 D．3和－5 5．抛物线y=x2－x的顶点坐标是（ ） A.(1,1) B.(1,1) C.(1,1) D.(1,?1)
2242426．二次函数y?ax?bx?c 的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a、b、c与0的大
小关系是（ ）
A．a＞0，b＜0，c＜0 B．a＞0，b＞0，c＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＜0
7．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一
跳，函数h=3．5 t－4．9 t2(t的单位s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s
8．已知抛物线的解析式为y=－（x—2）2＋l，则抛物线的顶点坐标是（ ） A．（－2，1）B．（2，l）C．（2，－1）D．（1，2）
9．若二次函数y=x2－x与y=－x2+k的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A．这两个函数图象有相同的对称轴 B．这两个函数图象的开口方向相反 C．方程－x2+k=0没有实数根 1 D．二次函数y=－x2＋k的最大值为
2
10．抛物线y=x2 +2x－3与x轴的交点的个数有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 11．抛物线y=（x—l）2 +2的对称轴是（ ）
A．直线x=－1 B．直线x=1 C．直线x=2 D．直线x=2
212．已知二次函数y?ax?bx?c的图象如图所示，则在“① a＜0，②b ＞0，③c＜ 0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（ ）
A、①②③④ B、④ C、①②③ D、①④
213．已知二次函数y?ax?bx?c(a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
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①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x的值只能取0．其中正确的个数是（ ）
A．l个 B．2个 C．3个 D．4个
14．如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）
A．最大值1 B．最小值－3
C．最大值－3 D．最小值1
215．用列表法画二次函数y?ax?bx?c的图象时先列一个表，当表中对
自变量x的值以相等间隔的值增加时，函数y所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A．506 B．380 C．274 D．182
16．将二次函数y=x2－4x+ 6化为 y=(x—h)2+k的形式：y=___________ 17．把二次函数y=x2－4x+5化成y=(x—h)2+k的形式：y=___________ 18．若二次函数y=x2－4x+c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）．
19．抛物线y=(x－1)2+3的顶点坐标是____________．
20．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（－1,0）、B（3,0）、C（0,3）三点，
(1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。 (2)若点（x0,y0）在抛物线上，且0≤x0≤4,试写出y0的取值范围。
22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数y=162－3x；
（1）写出商场每天的销售利润w（元）与每件的销售价x（元）的函数关系式； （2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润
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