2008年湖北黄岗罗田县第一中学自主招生考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题
4分，满分32分）
22
，y是实数)，则M的值一定是（）．1. 若M＝3x－8xy＋9y－4x＋6y＋13(x，
（A）零（B）负数（C）正数（D）整数
2.已知sin＜cos，那么锐角的取值范围是（A）300＜＜450（B）00＜＜4503．已知实数a满足（A）2009
（C）450＜（C）2007
＜600
（）
（D）00＜（
）（D）2006
＜900
2008a＋a
2009＝a，那么a－20082值是
（B）2008
4．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个实数，
且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式A.
ac
b的值等于（
）．
34
（B）
6
（C）
34
（D）6
Q
A
B
y
5.二次函数yax
2
图象上的一点，且A.
bxc的图象如图所示，Q(n,2)是
AQBQ，则a的值为（）．12
（C）－1
（D）－2
13
O
x
（B）
6.矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将纸片折叠压平，使
设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于（）．A.
A与C重合，
738
ab
c
B.
758
ba
ac
C.
7316
D.
7516
y
txt的图象必定经过的象限是（
（C）第二、三、四象限
B BCEF，
A
O
（C）43
（D）F 82
E
C
2
7．若
cb
t，则一次函数
）
（A）第一、二象限（B）第一、二、三象限
（D）第三、四象限
8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形
设正方形的中心为AC的长等于(（A）12
2
O，连结AO，如果AB＝4，AO＝62，那么)
（B）16
4分，共28分）
二、填空题（本大题共7小题，每小题9.已知x
0，那么代数式x2x1的值是_____．
10.已知x,y,z为实数，且xyz5,xyyzzx3，则z的取值范围为______．
x1
3
11.已知点A（1，3），B（5，－2），在x轴上找一点P，使│AP－BP│最大，则满足条件的点的坐标是____________．
12．设x1，x2，x3，…，x2007为实数，且满足
P
x1x2x3…x2007＝x1x2x3…x2007＝x1x2x3…x2007＝…＝x1x2x3…x2006x2007＝1，
则x2000的值是___________．13．对于正数x，规定f（x）＝计算f（
1100
x1x
198
，
）＋…＋f（
）＋f（
199
）＋f（
13
）＋f（
12
）＋f（1）＋f（2）＋f（3）
＋…＋f（98）＋f（99）＋f（100）＝__________．14.如果关于x的方程x取值范围是________．
0
15.在Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝3，BC＝4.若以C点为圆心，只有一个公共点，则r的取值范围是_________________．
2
2a1x2a10有一个小于1的正数根，那么实数
a的
AB
r为半径所作的圆与斜边
E Q
三、解答题：
16.（本小题10分）某超市去年12月份的销售额为
100万元，
今年2月份的销售额比今年1月份的销售额多24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同．求：（1）这个相同的百分数；（2）2月份的销售额．
C
G F
A
P
D
17．（本小题13分）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC 和FD的中点，过G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、
N、P、Q，求证：MN＋PQ＝2PN．
N M
B
18．（本小题13分）如图，已知点
记点（1）证明
P是抛物线
y
14
x
2
1
上的任意一点，
2）P到x轴距离为d1，点P与点F(0,的距离为d2d1＝d2；
Q(异于P点)，
（2）若直线PF交此抛物线于另一点试判断以PQ为直径的圆与
x轴的位置关系，并说明理由．
19．（本小题14分）如图，已知
ABC中，AB＝a，点D在AB边上移动（点D不与A、B重
ABC
合），DE//BC，交AC于E，连结CD．设S（1）当D为AB中点时，求S1：S的值；（2）若AD
S，S
DEC
S1．
x，
S1S
y，求y关于x的函数关系式
14
及自变量x的取值范围；（3）是否存在点若存在，求出
D，使得S1
S成立？
．
D点位置；若不存在，请说明理由
m4，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最大值为a，最小值为b，次小值为c．（注：一个数如果是另一个整数的完全平方，
20．（本小题10分）已知
ym
2
那么我们就称这个数为完全平方数．（1）求
）
a、b、c的值；
（2）对a、b、c进行如下操作：任取两个求其和再除以2，同时求其差再除以2，剩下的另一个数不变，这样就仍得到三个数．再对所得三个数进行如上操作，问能否经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论．答案
一、选择题：CBAABDAB二、填空题：9.2；10
1z
133
；11_（13，0）12. 1，或
32
5
；13.__99
12
；14.
1a
12
15. _3＜r≤4或r＝2.4
三、解答题：
22
16.（1）100(x＋1)＝100(x＋1)＋24 . x＝0.2 ＝20％.（2）2月份的销售额：100×1.2＝144万元. ．
17、延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．∵F是AC的中点，∴∵AB∥CD，∴∴又
DF的延长线必过
O点，且
DGOG
13
．
E Q
MNPN
AN
PQPNDNOQ
CQDNDGOG
．∴
DNMNPQPN
PN
．∵AD∥CE，
ANDN
CQDN
＝
ANCQ
DN
．
C
P G F
A
N M
B D
13
，∴OQ＝3DN．
∴CQ＝OQ －OC＝3DN －OC＝3DN －AD，AN＝AD －DN，
于是，AN＋CQ＝2DN，
O MNPQANCQ
∴＝2，即MN＋PQ＝2PN．
PNPNDN
18．（1）证明：设点由勾股定理得∴
P(x0,y0)是
y
14
x
2
2
1
上的任意一点，则
2
0
y0
x
20
4
10
，∴d1y0．
d2＝PF
x4y0
20
(y04
y0
2)，而xd1．
4y0
4，
d24y0
4y
20
（2）解：①以PQ为直径的圆与由（1）知，PP'∴PP'QQ'∴MC＝
x轴相切.
P'、C、Q'，
取PQ的中点M，过点P、M、Q作x轴的垂线，垂足分别为
PF,QQ'QF12
QF，
而
PF
PQ.
(PF＋QF)＝
MC是梯形PQQ'P'的中位线，
12
(PP’＋QQ’）＝
12
PQ．
∴以PQ为直径的圆与19、解：（1）
x轴相切.
DE//BC，D为AB的中点，
AEACS
12
ADE
ADE∽
ADABC，
AB
．
S
ADE
S
（2）
∵
AD2()AB
AD＝x，
14
S1S
AEECS1S△ADE
S1
＝y，∴
2
2
1，＝ECAE
＝
∴
S1Sax
14x
．
DBAD
＝
．
又∵
S△ADE
S
xa
22
ADx＝＝2，
ABa
·S
∴
S1＝
∴
S△ADE＝
ax
xxa
22
S∴
S1S
x
2
ax
2
a
，
即y＝－
1a
2
x＋
1a
x自变量x的取值范围是：0＜x＜a．
（3）不存在点
D，使得S1
14
S成立．
理由：假设存在点
D，使得S1
14
S成立，那么
S1S
∴－
1
，即y4
12
1．4
x＞
x＋
2
11，∴（
1x－
1）＜0 ∵（
2
1x－
1）2≥
∴x不存在，
a
a
4
a
2
a
2
即不存在点D，使得S1
14S成立．
20.（1）设m2
m4
k2（k为非负整数），则有m
2m4由m为整数知其△为完全平方数（也可以由△的公式直接推出）
（
p为非负整数），
得(2kp)(2kp)15,显然：2kp2kp，
所以
2kp152kp52k
p
1
或
2k
p
3
，解得p7或p1，所以m1p
2
，得：m13,m24,m3
0,m4
1，
所以a
3,b4,c
1．
ab
2
ab2
2
（2）因为
2
2
c
2
a
b
2
c
2
，
即操作前后，这三个数的平方和不变，而3
2
(4)2
(1)2
2008．
所以，对
a、b、c进行若干次操作后，不能得到
2008．
k
2
0，
，
即1
4(4k2
)
p
2
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