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高二精选题库数学 课堂训练8-6北师大版

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第8章 第6节

时间:45分钟 满分:100分

一、选择题(每小题7分,共42分)

1. [2011·陕西]设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( ) A. y2=-8x C. y2=-4x 答案:B

解析:由抛物线的准线方程为x=-2,则焦点F(2,0), p

∴=2,∴p=4. 2

故抛物线的标准方程为y2=8x,故选B.

2.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为( )

A.4 C.4或-4 答案:C

解析:设标准方程为x2=-2py(p>0),由定义知P到准线距离为4, p

故+2=4,∴p=4, 2

∴方程为x2=-8y,代入P点坐标得m=±4.

3.点M(5,3)到抛物线y=ax2的准线的距离为6,那么抛物线的方程是( ) A.y=12x2 B.y=-36x2

C.y=12x2或y=-36x2 11D.y=x2或y=-x2

1236答案:D

解析:分两类a>0,a<0可得 11

y=x2,y=-x2. 1236

4. [2012·湖北武汉]设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A、B,

B.-2 D.12或-2 B. y2=8x D. y2=4x

→→且AF·BF=0,则直线AB的斜率k等于( )

A. 2 C. 3

B. D.

2

23 3

答案:B

解析:焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2), 直线AB:y=k(x+1),

代入y2=4x中,得k2(x2+2x+1)=4x, k2x2+(2k2-4)x+k2=0, 4-2k2

则x1+x2=2,x1·x2=1.

k

→→又AF·BF=(1-x1)(1-x2)+y1y2 =1-(x1+x2)+x1x2+2x1·2x2 4-2k2

=1-2+1+4×1=0,

k∴k=22

或k=-(舍去), 22

故选B.

5. 已知点P是抛物线y2=4x上的点,设点P到抛物线准线的距离为d1,到圆(x+3)2+(y-3)2=1上的一动点Q的距离为d2,则d1+d2的最小值是( )

A. 3 C. 5 答案:B

解析:设抛物线焦点为F,圆的圆心为C,点P到抛物线准线的距离为d1,即点P到抛物线焦点的距离为d1,要使d1+d2的值最小,所以有d1+d2=|PF|+|PQ|≥|PF|+|PC|-1≥|CF|-1=5-1=4,

∴d1+d2的最小值是4.故选B.

B. 4 D. 32+1

→y)到点M(-3,0)的距离的最小值为( )

A. 2 C. 4 答案:B

B. 3 D. 6

→→→6.已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点,且|MN|·|MP|+MN·NP=0,则动点P(x,

→→→→→→→→解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),NP=(x-3,y). 由|MN|·|MP|+MN·NP=0得6?x+3?2+y2+6(x-3)=0,化简整理得y2=-12x,从而可知点M是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到点M的距离的最小值就是原点到点M(-3,0)的距离为3.

二、填空题(每小题7分,共21分)

7. [2012·北京朝阳]已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|=4,则点M的横坐标x=__________.

答案:3

解析:抛物线y=4x的焦点为F(1,0),准线为x=-1. 根据抛物线的定义,点M到准线的距离为4, 则M的横坐标为3.

8. 已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是__________.

答案:2

解析:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线,由抛物线的定义知,动点P到l2的距离等于动点P到抛物线的焦点F(1,0)的距离,问题转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l2的距|4-0+6|

离之和最小,最小值为点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离d,即d==2.

5

9.已知以坐标原点为顶点的抛物线C,焦点在x轴上,直线x-y=0与抛物线C交于A、B两点.若P(2,2)为AB的中点,则抛物线C的方程为________.

答案:y2=4x

解析:由题意知,抛物线的顶点为坐标原点,焦点在x轴上,所以可设抛物线的方程为y2=ax(a≠0).

2

??y=ax

将直线方程和抛物线方程联立?,得:x2-ax=0,解得x1=0,x2=a,故AB中点的横坐标为

?y=x?

2

111

x0=(x1+x2)=a,由题意得a=2,解得a=4.所以该抛物线的方程为y2=4x.

222

三、解答题(10、11题12分、12题13分)

10.顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15,求抛物线的方程. 解:设所求抛物线方程为y2=ax(a≠0),

直线y=2x+1与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2).

?y2=ax,?由?消去y得4x2+(4-a)x+1=0, ??y=2x+1,

a-41则x1+x2=,x1x2=.

44由|AB|=

?1+22???

a-4?21

-4×?=15,

4???4?解得a=12或a=-4,均满足Δ=(4-a)2-16>0. 所以抛物线方程为y2=12x或y2=-4x.

11. 如图,抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上.过点M(0,-2)作直线l与抛物线相→→

交于A、B两点,且满足OA+OB=(-4,-12).

(1)求直线l和抛物线的方程;

(2)当抛物线上一动点P从点A向点B运动时,求△ABP面积的最大值. 解:(1)根据题意可设直线l的方程为y=kx-2, 抛物线方程为x2=-2py(p>0),

?y=kx-2?有?2得x2+2pkx-4p=0. ??x=-2py

设点A(x1,y1),B(x2,y2)则

x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4, →→

∴OA+OB=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4). →→

∵OA+OB=(-4,-12),

???-2pk=-4?p=1?∴解得?. 2

?-2pk-4=-12,???k=2

故直线l的方程为y=2x-2,抛物线方程为x2=-2y.

(2)据题意,当抛物线过点P的切线与l平行时,△APB的面积最大. 设点P(x0,y0),由y′=-x, 故由-x0=2得x0=-2,

1则y0=-x2=-2,故P(-2,-2).

20此时点P到直线l的距离

|2×?-2?-?-2?-2|445d===.

5522+?-1?2?y=2x-2,?

由?2得x2+4x-4=0. ??x=-2y,

故|AB|=1+k2·?x1+x2?2-4x1x2 =1+22·?-4?2-4×?-4?=410, 故△ABP的面积的最大值为 1145·|AB|·d=×410×=82. 225

12. [2011·浙江]已知抛物线C1:x2=y,圆C2:x2+(y-4)2=1的圆心为点M.

(1)求点M到抛物线C1的准线的距离;

(2)已知点P是抛物线C1上一点(异于原点),过点P作圆C2的两条切线,交抛物线C1于A,B两点,若过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程.

117

解:(1)由题意可知,抛物线的准线方程为:y=-,所以圆心M(0,4)到准线的距离是. 44

2

(2)设P(x0,x20),A(x1,x1),

B(x2,x22),由题意得x0≠0, x0≠±1,x1≠x2.

设过点P的圆C2的切线方程为y-x20=k(x-x0), 即y=kx-kx0+x20.① 则

2

|kx0+4-x0|

1+k2=1,

222即(x0-1)k2+2x0(4-x20)k+(x0-4)-1=0.

设PA,PB的斜率为k1,k2(k1≠k2),则k1,k2是上述方程的两根,所以

2

2x0?x2?x20-4?0-4?-1

k1+k2=2,k1k2=.

x0-1x20-1

将①代入y=x2,得x2-kx+kx0-x20=0,

2

x22x0?x21-x20-4?

由于x0是此方程的根,故x1=k1-x0,x2=k2-x0,所以kAB==x1+x2=k1+k2-2x0=2-x1-x2x0-1

x20-4

2x0,kMP=. x0

2

2x0?x0-4?x2230-4

由MP⊥AB,得kAB·kMP=(2-2x0)·()=-1,解得x2, 0=x05x0-1

即点P的坐标为(±23233115

,),所以直线l的方程为y=±x+4. 55115

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