成都七中2015年外地生自主招生考试数学试题和详细解析

2015年成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析

一、选择题（6×10=60分）

1. 已知等腰△ABC的面积为1，∠A=120，则△ABC内切圆的面积为（ ） A.18??

3B.54??

3C.9??

3D.27??

3解：过A作底边的垂线，垂足为D，连接圆心O与AB边的切点E，连接BO设圆半径为r Rt△ABD中，∠B=30°，S△

=(1/2)AD.BD=(1/2)AD. 3??D=1/2，∴AD=1/ 3 在Rt△AEO中，∠EAO=60°，∴sin60°=EO/AO= 3/2，即

ABD

2

r/(AD-r)= 3/2，∴r= 3????/(2+ 3) ∴S○O=πr=

2

3??7+4 3=

(7?4 3) 3??49?16×3

= 7 3?12 π

此题四个选项都不正确。

2. 如图所示，两条对角线长为4和2的菱形绕中心旋转90°，可围成一个四角形（各边用实线标注），则该四角形的周长是____。

解：作如图所示的辅助线（红色）

∵对角线长为2倍关系，∴E、F分别为AD、BD的中点， ∴EF为△ABD的中位线，∴EF=AB/2，△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2

222222

在Rt△ADF中，(AC+CF)=AD+DF，即(AC+AC/2)=2+1 解得AC=

2 53

，∴周长=8AC=

16 53

??4+4

3.已知x= 3+1，2=

??+2??+2解：∵x= 3+1 ∴??2=2x+2

∴??2+2??+2=2??2

??4+4=??2+4=(2??+2)2+4=4 ??2+2??+2 =4 ??2+??2 =8??2 ∴原式=

8??22??22

=4

4、某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的最长棱长为 A. 5 B. 22 C. 23 D.4 此题看不清原图，加之本人也未能完全参透，故未做。

22

5. 设x,y为实数，则代数式2x+4xy+5y-4x+2y-5的最小值是____

222222

解：原式=2x+4xy+5y-4x+2y-5=x+4xy+4y+x-4x+y+2y-5

222222

=(x+2y)+ x-4x+4+y+2y+1-5-4-1=(x+2y)+(x-2)+(y+1)-10， 恰好有解x=2,y=-1使得前三项都取得最小值0,故最小值为-10

6、已知x≤y≤z≤w≤6 ，则方程x+y+z+w=18的正整数解的个数为 A.5 B. 6 C.7 D.8

分析：设那4个数都相等，则它们=4.5，∵w最大，∴w≥4.5，∴w的值只能是5或6。 解：w=6 z=6 y=5,4,3 x=1,2,3

z=5 y=5,4 x=3,4 z=4 y=4 x=4 w=5 z=5 y=5,4 x=3,4 ∴有8组解满足条件。

7、定义分子为1且分母为正整数的分数为单位分数，把1分拆成若干个不同的单位分数之

1111111111111????????????，其中m?n。2612mn3042567290110132156x?y?2设1?x?m，1?y?n，则的最小值为

x?1235834A. B. C. D.

2273和。如：1=

分析：注意观察1/2=1/(1×2)=1/1-1/2，1/6=1/(2×3)=1/2-1/3，1/12=1/(3×4)=1/3-1/4… ∴1=1-1/4+1/m+1/n+1/5-1/13，化简得1/m+1/n=1/13+1/20，∵m≤n，且都为正整数， ∴m=13，n=20

(x+y+2)/(x+1)=1+(y+1)/(x+1)，当最小（y≥1）即y=1时，x最大（x≤m）即x=13时，(x+y+2)/(x+1)取得最小值，即为1+(1+1)/(1+13)=8/7

8. 若一个两位数的平方后的数的后两位恰好是这个两位数，这样的两位数有___个。

2

解：设该数为10x+y，且x,y,a,b,c均为0-9的整数，∴(10x+y)=1000a+100b+10x+y，

22

化简得100x+20xy+y=1000a+100b+10x+y①

0-9这10个数字中平方后个位数字为这个数本身的有0,1,5,6.但明显0不符合本题的要求，故只需考虑y=1,5,6的情况，且x≠0

2

当y=1时，整理①得：10x+x=10(10a+b)，∴等式右边的个位数是0，而左边的个位数是x，但已知x≠0，∴y=1时，没有这样的两位数；

2

当y=5时，整理①得：100(x+x)+25=1000a+100b+10x+5，∴等式左边十位数和个位数为25，即25=10x+5，∴y=5时，x=2，即这个两位数为：25

2

当y=6时，整理①得：10x+11x+3=10(10a+b)，∴等式右边的个位数为0，即要求11x+3的个位数也是0，∴x=7，即y=6时，x=7，即这个两位数为：76 ∴只有2个这样的两位数，它们是25和76

22

9、设p、q为不相等的正整数，且关于x的方程x-px+q=0和x-qx+p=0的根都是正整数，则|p-q|=

分析：设两个方程的解分别为x1,x2,x3,x4，且它们都为正整数

设p>q,则有x1+x2>x1*x2，容易知道只有x1,x2中必有一个数为1不等式才能成立， ∴p-q=x1+x2-x1*x2=1

设px3*x4，同理可知x3,x4中必有一个数为1不等式才能成立， ∴q-p=x3+x4-x3*x4=1 综上可得|p-q|=1

10. 在正方形ABCD所在平面上的直线L满足下列条件：正方形ABCD的四个顶点到直线L的距离只取两个值，其中的一个值是另一个值的3倍，这样的直线L的条数为 A.4 B.8 C.12 D.16

解：与正方形任意一边平行的外面有2条、里面有1条这样的直线，∴（2+1）×4=12 与四边都相交的有4条这样的直线，∴共有12+4=16条

二、填空题（本大题共4小题，每题7分，共28分）

11. 在四边形ABCD中，BC=8，CD= 19，AD=10，∠A=∠B=60°，则AB=_____ 解：反向延长AD和BC交于E点，∵∠A=∠B=60°，∴△ABE为正三角形，∠E=60° 过D作EB的垂线，垂足为F，设EF=x，则∠EDF=30°，DE=2x，DF= 3??，

∴AE=10+2x=EB，∴FC=BE-EF-CB=10+2x-x-8=2+x，

222

∴在Rt△DFC中，CD=DF+FC，即

22

19=3x+(2+x),整理得(2x-3)(2x+5)=0,故x=1.5，∴AB=AE=AD+DE=10+2x=10+3=13。 12、如右图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，而△ABE、△ECF、△FDA的面积分别为2、3、4，那么△AEF的面积为______ 解：设AB=a,BE=b。∵S△FDA=4=2S△ABE，∴DF=2BE=2b ∴ab=4，(a-b)(a-2b)=6①

222

把b=4/a带入①整理后得a+32/a=18,可解得a=2(舍去)或16，

2

∴S△AEF=SABCD-S△ABE-S△ECF-S△FDA=a-2-3-4=7

13、函数y?x?mx?m的图像被x轴所截的最大值为_______ 解：所截的值为|x1-x2|= ??21

1

24?4??41

= ?4 ??2? +

8

2116

∴??2=8时取得最大值 16=4

14. 已知[x]表示不超过x的最大整数，如[π]=3.[3]=3，那么[ 7+ 11]=_____ 解：∵2< 7<3，3< 11<4

∴5< 7+ 11<7，∴[ 7+ 11]=5或6

设 7+ 11>6，即 11>6? 7，两边平方整理得：3 7>8， 即 63> 64，这显然不成立，∴ 7+ 11<6 [ 7+ 11]=5

三、填空题（本大题共4小题，每题8分，共32分）

，15、已知1/3=0.3即1/3=0.3+0.03+0.003……，等式两边同乘3.则有1=0.9+0.09+0.009……，

??11111111，也即1=0.9借鉴上述操作，若有6=12+22+32+42+?，那么12+32+52+72+?=____

2

1

解：∵6=12+22+32+42+?①，把它两边同时×22得到

??2

11111

??222×63??24×6

=22+42+62+82+?②，用①-②得

1121111

=+

132+

152+

172+?，∴2+

1

1132+

152+

172+?=

??28

16. 在四边形ABCD中，∠DAC=98°，∠DBC=82°，∠BCD=70°，BC=AD，则∠ACD=____ 解：延长CA到E，使AE=BD

∵∠DAC=98°+∠DBC=82°=180° 又∵∠DAC+∠DAE=180°

∴∠DBC=∠DAE，又∵BC=AD，AE=BD ∴△CBD≌△DAE

∴∠BDC=∠E=180°-∠DBC-∠BCD=28° △CBD≌△DAE→DE=CD

∴在△CDE中，∠E=ECD=28°

17. 方程 ???+ 1?=??的解为____

??

??

1

1

解：根据题有x≥0,x-1/x≥0，1-1/x≥0，∴解得x≥1 把方程移项得： ???=??? 1?，

??

??

1

1

两边平方并整理得：??2?x?2 ??2???+1=0，变形得：

??2??? ?2 ??2???+1=0，∴ ??2????1 =0，∴ ??2???=1 解得x=

1± 522

2

，∵x≥1，∴x=

1+ 5 2

18、已知O为△ABC的外心，有AB=2，AC=4，则AO·BC的最小值为_______ 解：过O作OE⊥AB于E点，作OF⊥AC于F点

? = ?( + )= ? + ? ≥? ? +| |?| |

AOBC

AO

BA

AC

AOBA

AOAC

AE

BA

AF

AC

∵AE=AB/2=2/2=1, AF=AC/2=4/2=2,带入上式得：-1×2+2×4=6

四、解答题（本大题共2小题，19题14分，20题16分，共30分） 19、如图正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA边和AB边所在直线的解析式分别为y=3x/4和y=-4x/3+25/3，D、E分别为OC、AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，交点为Q

（1）求证：Q为△COP的外心（2）求正方形OABC的边长（3）当圆Q与AB相切时，求点P的坐标

（1）证明：∵D、E分别为OC、AB的中点，

∴DQ为Rt△COP的中位线，∴Q为斜边CP的中点 ∴Q为△COP的外心

（2）解：解方程组y=3x/4和y=-4x/3+25/3，得到它们的交点即A点的坐标(4,3)

∴OA= 42+32=5，∴正方形OABC的边长为5.

（3）∵AE与○Q相切于E，OA与○Q相割于P

2

∴AE=AP×AO，∴AP=5/4，∴OP=5-AP=5-5/4=15/4 设点P的坐标为（x,3x/4）,则有 222

x+(3x/4)=(15/4),解得x=3或-3(舍去)，∴y=3x/4=9/4 ∴点P的坐标为（3,9/4）

20、若存在正常数L，对某一函数图像上任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，有不等式|y1-y2|≤L|x1-x2|恒成立，则称该函数为李氏函数，L为该函数的李氏系数。 （1）判断y=2x+1和y=1/x是否为李氏函数（只判断不用说明理由）； （2）若函数y=1/x(1/2

3

（3）若函数y=x(α

∴|y1-y2|≤L|x1-x2|，即|1/x1-1/x1|≤L|x1-x2|,整理得:又∵1/2

221

|x1x2|

≤L

11

×∴李氏系数L的取值范围为：L>4 （3）本人能力不及。