高一数学培优专题(已修正)

厦大附中高一数学培优专题（一）

（2010-3-6/13）

知识要点梳理 本节公式中，s?a?b?c,,r为内切圆半径，R为外接2圆半径，Δ为三角形面积. （一). 三角形中的各种关系

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角A、B、C． 1．角与角关系：A+B+C = π，

2．边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b， a－b < c，b－c < a，c－a < b． 3．边与角关系：

abc???2R 正弦定理； siAnsiBnsiCn余弦定理； c2 = a2+b2－2bacosC， b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA．

sinAa它们的变形形式有：a = 2R sinA，sinB?b，

b2?c2?a2cosA?． 2bc3）射影定理：a＝b·cosC＋c·cosB，

b＝a·cosC＋c·cosA， c＝a·cosB＋b·cosA．

11abc4）面积公式：S??2aha?2absinC?rs?4R?s(s?a)(s?b)(s?c)

1

（二）、关于三角形内角的常用三角恒等式： 1.三角形内角定理的变形

由A＋B＋C＝π，知A＝π－（B＋C）可得出： sinA＝sin（B＋C），cosA＝－cos（B＋C）． 而

AB?CA?B?Csin?cos??．有：22222，cosAB?C?sin22．

2.常用的恒等式：

（1）sinA＋sinB＋sinC＝4cosAcosBcosC；

222（2）cosA＋cosB＋cosC＝1＋4sinAsinBsinC；

222（3）sinA＋sinB－sinC＝4sinAsinBcosC；

222（4）cosA＋cosB－cosC＝－1＋4cosAcosBsinC．

2223．余弦定理判定法：如果c是三角形的最大边，则有： a2＋b2＞c2 a2＋b2=c2 圆半径等。 条件 理

2

? 三角形ABC是锐角三角形 三角形ABC是钝角三角形 三角形ABC是直角三角形

a2＋b2＜c2

?

?

(三) 三角形度量问题：求边、角、面积、周长及有关

角角边 边边角 理 定理 边边边 边角边 理 理 适用定正弦定正弦定理或余弦余弦定余弦定其中“边边角”（abA）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：

A<90° a≥b 一解 absinA a=bsinA ab 一解 a≤b 无解 (四)积化和差公式

1sin?cos??[sin(???)?sin(???)]；

21cos?sin??[sin(???)?sin(???)]；

21cos?cos??[cos(???)?cos(???)]；

21sin?sin???[cos(???)?cos(???)]

2(五)和差化积公式

sin??sin??2sinsin??sin??2cos???2cossin???2；

22； ??????cos??cos??2coscos22； ??????cos??cos???2sinsin22

3

??????

（一）课前练习

（1）?ABC中，A、B

b，且的对边分别是a、A=60, a?6, b?4，那么满足条件的?ABC A、 有一个解 B、有两个解 C、无解 D、不能确定

（2）在△ABC中，A=60°,b=1,面积为3，

a?b?c则sinA?sinB?sinC= .

（3）在?ABC中， (1?tanA)(1?tanB)?2，则log2sinC＝_____

(4)在?ABC中，a,b,c分别是角A、B、C所对的边，若(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?3asinB，则?C＝____

a2?b2?c2（5）在?ABC中，若其面积S?43，

则?C=30

183?（4）60（5）30答案：（1）C；（2）（3）23

；

4