对多元多维理解分数意义的思考

对多元多维理解分数意义的思考

分数是一个内涵丰富的数学概念，是人们比较早就认识了的数（次于自然数），它在数学发展史中具有重要的地位，又是一个核心概念，在小学数学中与其他的概念有着密切的联系。 一、分数学习的阶段性。

在小学阶段，教材中安排了2次关于“分数的意义”的学习（教材图），但就分数意义的前期渗透和后续的延伸，总结梳理出分数的意义的五个学习阶段。 第一阶段：要经历“平均分”的活动，为学生初步认识分数积累经验。 第二阶段：在分数的初步认识教学中，帮助学生直观认识部分与整体的关系，感受分数意义的丰富性。

第三阶段：在分数意义的教学中，借助直观操作，从不同的角度认识分数，完善对分数意义的理解。

第四阶段：在分数的运算及解决问题的教学中，鼓励学生综合运用对于分数意义理解的多个维度。

第五阶段：在比的学习中，沟通分数、除法和比的关系。

这五个阶段不是相对孤立的，更不是线性排列的，不能僵化地理解为到了某一阶段就必须或者只能达成对某维度的学习，其他维度将不再涉及。这五个阶段在完成对分数意义丰富认识方面各有侧重，相互渗透，相互补充，共同帮助学生实现对分数意义理解的不断发展和整体建构。 二、本单元主要教学内容

分数和除法的关系 分数的意义 最小公倍数 分数比大小 最简分数

通分 分数基本性质 约分 最大公因数 求一个数是另一个数的几分之几 分数和小数互化 真分数、假分数 假分数化成带分数和整数 对分数的学习是学生对数的认识的重大飞跃。五年级是继平均分、倍、除法以及分数初步认识的基础上对分数开展系统的学习，为后续的学习比的意义和分数运算及解决问题奠定基础。分数的意义是本单元的核心概念，是本单元教学的重点。分数意义的理解和运用对于学生来说也是一个难点。由于分数意义自身的丰富性，所以需要学生从多种维度来体会。本单元的其他概念的学习都是在帮助学生从不同方面加深对分数意义的理解。

三、多元多维认识分数意义，丰富对分数意义理解。 分数的意义：

学生在三年级初步认识分数后知道可以把一个物体看成一个整体，这是一种感性的认识。到了五年级分数的意义丰富了学生对单位“1”的认识，建立了单位“1”的概念，知道不仅可以把一个物体看成一个整体，一些物体也可以看成一个整体，这个整体叫单位“1”。在完善单位“1”的过程中，学生对于分数意义的理解也有了新的认识。

1

学生在三年级初步认识分数后知道把1个圆平均分成4份，每份是4 。这个11 ，既是分率也是数量。它既表示1份与整体的关系是44 ，也表示每一份的数量1

是4 个圆。

但五年级学生学习分数意义时，与三年级初步认识分数不同的是，单位“1”不再是一个物体，而是把几个物体看作一个整体，作为一个“单位”。所取的“一份”也不是一个，可能是“几个”作为“一份”。如：8个圆平均分成4份，表11示这样的1份，既可以用4 表示，也可以用2个圆表示，4 是1份所对应的分率，

1

2个圆是1份的数量。4 是从整体、单位1的角度来看其中的某个部分的，表示部分是整体的几分之几，不是看“个数”，而是看“份数”与总份数之间的倍比1

关系，即分率。4 所对应的数量可能是1个也可能是多个。

在分数意义教学中教师为学生精心设计了不同的学习活动，从不同的角度让学生深入的认识单位“1”，平均分谁，谁就是单位“1”，完善单位“1”的概念。

111

例如：请学生拿走一堆圆的2 ，再拿走剩下的2 ，问这两个2 各表示什么，有什么不同？

1

有三盒小棒，从第一盒拿出一根小棒，这一根小棒是整体的5 ；从第二盒拿

1

出两根小棒，这两根小棒是整体的5 ；从第三盒拿出三根小棒，这三根小棒是整1

体的5 ？能说出每个盒子里原来有多少根小棒吗？

这些活动都是在引导学生体会单位“1”的变化，以及体会单位“1”的变化带来的分率所对应的数量的变化。在活动中体会部分与整体的关系；学生在对单位“1”的认识过程中，也完善对分数意义的理解。

史宁中教授说，就整个中小学数学来说，分数主要有两个作用：一个是作为有理数出现的一种数，它能和其他的数一样参与运算；另一个是以比的形式出现的数。而后者是小学分数教学的重点。带单位名称的是量，不带单位名称的是率，这只是直观识别的标志，其本质在于率表示了关系，每一份的大小是随着单位“1”的变化而变化，但是与单位“1”的关系不变。量表示的是一个具体的数，不会随着单位“1”的变化而变化。

学生在对分率的理解中，逐步体会到分率表示的是2个量之间的倍数关系，有的学生就联想到了以前学习求两个数量之间的倍数关系，沟通了分率与倍数之间的联系。

建议：

（1） 通过补充不同类型的问题强化对分率的理解和认识。P28填空（5）

的个数占全部图形个数的

（ ）

，考察的是（ ）

用分率表示部分与整体的关系。教师可以把此题的功能拓展，请学生看图提出部分与部分关系的问题，如

的个数是 的

（ ）

等，引导学生关注到（ ）

分率既可以表示部分与整体的关系，也可以表

示部分与部分的关系。

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甲乙两条绳一样长，如果甲绳用去全长的5 ，乙绳用去全长的5 米，谁用去的多？先请学生猜猜谁用去的多，可能会出现一样长、甲长、乙长等多种情况，那为什么会有不同的猜测呢，可以引导学生画图表示一下，当绳长1米时，从图中看出两根用去的一样多。再继续演示比1米长、比1米短??，从图中看出甲用去的长度会随着绳长的变化而变化，而乙用去的长度是固定不变的。在论述过程中，也加深了学生对分率的认识，分率表示的是部分与整体之间的倍数关系，会随着单位“1”的变化而变化。

（2）引导学生利用不同的解题策略解决问题，强化对量率的认识。

P34 5如果每班的图书总数是100本，五一班的图书箱中有20本科技书，五二

1

班的科技书占总数的4 ，哪个班的科技书多？

分析：一个是量，一个是率，不能直接比较，可以引导学生分别从2个方面进行

比较，既可以都转化为量也可以都转化为率。在转化过程中也巩固了对一个数是另一个数的几分之几类型题目方法的掌握。 （3）引导学生在对比中体会量率的特点。

学探诊P30（5）有15条鱼共4千克。平均分给5个小伙伴，平均每个小伙伴分到几千克？（用分数表示结果）我分到这些鱼的几分之几？是几条鱼？ 先请学生独立解答。然后再引导学生观察比较这3个问题，第1、3问的是具体数量，而且是同一件事，只不过是同一件事的2个方面，第2问问的是分率。如果鱼的总数（单位1）发生变化，那么1、3问的结果也会随之变化，但只要小伙伴的数量不变，第2问的结果就不变。

通过对比辨析中加深学生体会量率的特点，即单位“1”的数量变化，引起对应的分率的数量也会发生变化，但部分与整体的关系（分率）是不变的。 分数与除法的关系

分数的产生，不仅是分物与测量的需要，也是数学本身发展的需要。在整数除法中，两个数相除，有时不能得到整数商，为了使除法运算可以施行，就需要引进新的数——分数，充分体现引进分数的必要性。

分数与除法的关系作为分数教学的第二级台阶十分重要，在这一板块中，分数被赋予商的意义，从分数就是表示部分与整体的关系的强烈认知到分数还可以表示某个具体的数量大小，这是学生认识上的一次飞跃，也是认知上的难点，是对学生的抽象思维的一种挑战。教学侧重点在经历以平均分为连结点的分物活动，以平均分为桥梁再次认识分数，体会分数与除法间的关系，学会用分数表示商。分数与除法关系从除法角度加深对分数意义的理解，体现计算产生分数，这是分数的数学价值。

有研究表明，学生可以从比、度量、运作、商的角度来理解分数，通过分数81

与除法关系教学后，学生对于15 的理解，既可以看成8个15 的累积，也可以理解为8份与15份的关系，8÷15，以及8÷15的商。

真分数假分数

是分数意义即分数概念的引申，也是认识分数的一次思维跨越。其重点是理解真分数、假分数和带分数的意义，认可假分数、带分数也是分数。这种认可不仅是外在形式上的，重要的是意义上的理解。

在教材的安排中，虽然在多处安排了有关分数“度量意义”的线索，但是线索并不明确，教师对此也比较容易忽视。以往对于分数单位的教学大多停留在教学定义和分辨谁的分数单位是谁上，没有体现出分数单位的价值，以及其对于分数“度量意义”的作用。同时，分数单位与整数计数单位在学生的认识过程中似乎不同，学生认为整数是数出来的，因此整数计数单位的重要性不言而喻，而分数是分出来的，似乎无法建立分数与分数单位的联系。因此，在教学中引导学生