（3）把（2）中的和倒过来
z?cba00010abc?z
（4）差
由此看出，99能被k整除．
A3－008 计算由1到10的每一个数的数字之和，得到10个新数，再求每一个新数的数字之和；这样一直进行下去，直到都是一位数为止．那么，最后得到的数中是1多，还是2多？
【题说】 1964年全俄数学奥林匹克八年级题3．考虑整数被9除的余数．
【解】 一个正整数与其数字之和关于9是同余的，故最后所得的一位数为1者，是原
9
数被9除余1的数，即1，10，19，?，999999991及10．
同理，最后所得一位数为2者，原数被9除余2，即2，11，20，?，999999992． 二者相比，余1者多一个数，因此，最后得到的一位数中以1为多．
A3－009 求出具有下列性质的所有三位数A：将数A的数字重新排列，得出的所有数的算术平均值等于A．
【题说】 第八届（1974年）全苏数学奥林匹克九年级题 5．
9
9
由此可得222（a＋b＋c）＝6（100a＋10b＋c），即7a＝3b＋4c，将这方程改写成
7（a－b）＝4（c－b）
5
当0?b?2时，a＝b＝c，或a－b＝4且c－b＝7． 当7?b?9时，b－a＝4，b－c＝7，从而
A∈{111，222，?，999，407，518，629，370，481，592}
显然这15个三位数都合乎要求．
A3－010 当4444写成十进制数时，它的各位数字之和是A，而B是A的各位数字之和，求B的各位数字之和（所有的数都是十进制数）．
【题说】 第十七届（1975年）国际数学奥林匹克题4．本题由原苏联提供． 【解】 因为4444A?177760
B?1＋5×9＝46，B的数字和C?4＋9＝13 由于一个数与它的数字和mod 9同余，所以 C≡B≡A≡4444＝（7）
3
1481
4444
44444444
的位数不超过4×4444＝17776，所以
≡7
1781
4444
×7≡1×7
≡7（mod 9）
故C＝7，即数B的各位数字之和是7．
A3－011 设n是整数，如果n的十位数字是7，那么n的个位数字是什么？
【题说】 第十届（1978年）加拿大数学奥林匹克题1． 【解】 设n＝10x＋y，x、y为整数，且0?y?9，则
n＝100x＋20xy＋y
＝20A＋y（A为正整数）
因20A的十位数字是偶数，所以要想使n十位数字是7，必须要y的
222
十位数字是奇数，这只有y＝16或36．从而y的个位数字，即n的个位数字都是6．
2
2
2
2
2
2
2
2
6
A3－013 下列整数的末位数字是否组成周期数列？
其中[a]表示数a的整数部分．
【题说】 第十七届（1983年）全苏数学奥林匹克九年级题 4．
由于
不循环小数，所以{a2k＋1}从而{an}不是周期数列．
在二进制中的末位数字．显然，bn为偶数时，rn＝0，bn为奇数时，rn
＝1．仿（a）可证{rn}不是周期的，从而{bn}也不是周期数列．
A3－014 设an是1＋2＋?＋n的个位数字，n＝1，2，3，?，试证：0.a1a2?an?是有理数．
【题说】 1984年全国联赛二试题 4．
【证】 将（n＋1），（n＋2），?，（n＋100）这100个数排成下表：
（n＋1）
2
2
2
2
222
（n＋2）
2
? （n＋10）
2
7
（n＋11）
2
（n＋12）
2
? （n＋20）
2
? ? ? ?
（n＋91）
2
2
（n＋92）
2
? （n＋100）
2
因k与（k＋10）的个位数字相同，故表中每一列的10个数的个位数字皆相同．因此，将这100个数相加，和的个位数字是0．
所以，an＋100＝an对任何n成立．
A3－015 是否存在具有如下性质的自然数n：（十进制）数n的数字和
22
等于1000，而数n的数字和等于1000？
【题说】 第十九届（1985年）全苏数学奥林匹克八年级题 2． 【解】 可用归纳法证明更一般的结论：
对于任意自然数m，存在由1和0组成的自然数n，它的数字和S（n）
222
＝m，而n的数字和S（n）＝m？
当m＝1，n＝1时，显然满足要求．
设对自然数m，存在由1和0组成的自然数n，使得
S（n）＝m，S（n）＝m
设n为k位数，取 n1＝n×10
k＋1
2
2
2
＋1，则n1由0，1组成并且
S（n1）＝S（n）＋1＝m＋1
＝S（n×10（1）
＝S（n）＋2S（n）＋1 ＝m＋2m＋1 ＝（m＋1）
2
2
22
2k＋2
）＋S（2n×10
k＋1
）＋S
8
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