高考数学二轮复习专题限时集训2恒等变换与解三角形理121

高考数学二轮复习专题限时集训2恒等变换与解三角形理

121

[专题通关练] (建议用时：30分钟)

2πsin A1．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝5，b＝3，A＝，则

3sin C＝( )

7

A. 53C. 7

5B. 77D. 3

sin Aa7222

A [由余弦定理：a＝b＋c－2bccos A，得a＝7，由正弦定理：＝＝.故选A.]

sin Cc51

2．在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于( )

41A. 4C.3 2

1B. 2D.

15 4

D [由sin C＝2sin A及正弦定理得c＝2a. 在△ABC中，由余弦定理得b＝a＋c－2accos B， 122222

所以2＝a＋4a－4a×＝4a，解得a＝1，所以c＝2.

4又sin B＝1－cosB＝

2

2

2

2

15， 4

111515

所以S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝.故选D.]

2244

3．(2019·唐山市一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，c＝4，设AB边上的高为h，则h＝( )

A.

15 2315

4

B.

11 2315

8

C.D.

D [∵a＝2，b＝3，c＝4，

b2＋c2－a29＋16－4217

∴cos A＝＝＝＝，

2bc2×3×4248

- 1 -

则sin A＝1－cosA＝

2

491－＝

641515＝， 648

则h＝ACsin A＝bsin A＝3×

15315＝，故选D.] 88

?π?4．(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈?0，?，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )

2??

1

A. 5C.3 3

B.5 525

5

2

D.

B [由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sinα＋1，即2sin αcos α?π?222

＝1－sinα.因为α∈?0，?，所以cos α＝1－sinα，所以2sin α1－sinα＝1－

2??

sinα，解得sin α＝

2

5

，故选B.] 5

5．△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知cos C＋cos A＝1，则cos B的取值范围为( )

bcba?1?A.?，＋∞? ?2??1?C.?，1? ?2?

?1?B.?，＋∞? ?2??1?D.?，1? ?2?

bbba2＋b2－c2bc2＋b2－a22b22

D [因为cos C＋cos A＝1，得×＋×＝＝1，所以b＝ac，

cac2aba2bc2aca2＋c2－b2a2＋c2－acac1

所以cos B＝＝≥＝，当且仅当a＝c取等号，且B为三角形内

2ac2ac2ac2

1

角，所以≤cos B＜1.故选D.]

2

6．[易错题]在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 等腰三角形或直角三角形 [由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， π

即A＝B或A＋B＝，

2

所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．]

7．(2019·大庆市高三第二次模拟)已知α，β为锐角，且(1－3tan α)(1－3tan β)＝4，则α＋β＝________.

2π

[将(1－3tan α)(1－3tan β)＝4展开得－3(tan α＋tan β)＝3(1－tan 3

- 1 -

α·tan β)，即

tan α＋tan β＝tan(α＋β)＝－3，由于α，β为锐角，0＜α＋β1－tan α·tan β2π

＜π，故α＋β＝.]

3

8.某高一学习小组为测出一绿化区域的面积，进行了一些测量工作，最后将此绿化区域近似地看成如图所示的四边形，测得的数据如图所示，AB＝2 km，BC＝1 km，∠BAD＝45°，∠B＝60°，∠BCD＝105°，则该绿化区域的面积是________km.

6－3

[如图，连接AC，由余弦定理可知AC＝4

2

AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝3(km)，故∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAC＝∠DCA＝15°，∠ADC＝150°.

ACADAC×sin∠DCA由正弦定理得，＝，即AD＝＝

sin∠ADCsin∠DCAsin∠ADC(km)，

3×

6－2

432－6

＝

122

11?32－6?216－32

故S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝×1×3＋×??×2＝4(km)．]

22?2?

[能力提升练] (建议用时：20分钟)

11

9．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log

23A．2 C．4

B．3 D．5

?tan α?等于( )

?tan β???5

2

11

C [因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，

23

11

所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos

2351tan αβ＝，cos αsin β＝，所以＝5，所以log

1212tan β?tan α?＝log552＝4.故选C.]

?tan β???5

2

?π?10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝3，c＝23，bsin A＝acos?B＋?，

6??

则b＝( )

A．1 C.3

B.2 D.5

- 1 -

31?π?C [因为bsin A＝acos ?B＋?，展开得bsin A＝acos B－asin B，由正弦定理化

6?22?简得sin Bsin A＝

即tan B＝

31

sin Acos B－sin Asin B，整理得3sin B＝cos B， 22

3π，而三角形中0＜B＜π，所以B＝. 36

π222222

由余弦定理可得b＝a＋c－2accos B，代入得b＝3＋(23)－2×3×23cos ，解

6得b＝3，所以选C.]

π?π?10??π??11．(2018·聊城模拟)已知cos?θ＋?＝，θ∈?0，?，则sin?2θ－?＝4?2?3?10???________.

π??1＋cos?2θ＋?2?1π?π?4－33??2? [由题意可得，cos?θ＋?＝＝，cos?2θ＋?＝－sin 2θ4?2?10210??4

＝－，

5

π?410??π?所以0＜θ＜π，?π?

即sin 2θ＝.因为cos?θ＋?＝＞0，θ∈?0，?，2θ∈?0，?，

4?102?2?54???3

根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，

5由两角差的正弦公式，可得

π?ππ?sin?2θ－?＝sin 2θcos －cos 2θsin 3?33?41334－33

＝×－×＝.] 525210

12.(2019·潍坊市一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AC的中点，已知2sin

2

A＋B2

－3sin C＝1，a＝3，b＝4.

(1)求角C的大小和BD的长；

(2)设∠ACB的角平分线交BD于E，求△CED的面积． [解](1)由题意可得：3sin C＋1－2sin∴3sin C＋cos(A＋B)＝0， 又A＋B＝π－C，

- 1 -

2

A＋B2

＝0，

∴3sin C－cos C＝0，可得tan C＝π

∵C∈(0，π)，∴C＝，

6

3， 3

π2

∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD＝3＋4－2×3×2×cos ＝1，解得BD＝1.

6(2)由(1)可知BD＋BC＝4＝CD， π13

∴∠DBC＝，∴S△DBC＝BD·BC＝，

222∵CE是∠BCD的角平分线， ∴∠BCE＝∠DCE，

1

在△CEB和△CED中，S△BCE＝BC·CE·sin∠BCE，

2

2

2

2

S△CED＝CD·CE·sin∠DCE，

可得：

12

S△BCEBC33

＝＝，∴S△BCE＝S△CED， S△CEDCD22

3333??

，得?1＋?S△CED＝，∴S△CED＝＝3(2－3)＝23222??2＋3

∴代入S△BCE＋S△CED＝S△BCD＝－3.

题号 1 2 内容 三角恒等变换 平面向量、正(余)弦定理解决面积问题，不等式求最值 押题依据 恒等变换求值 平面向量、不等式与三角函数的交汇 ?π?3?3π?【押题1】 已知sin?＋α?＝，则sin?－α?＝________，sin 2α＝________. ?4?5?4?

37?π?3

－ [∵sin?＋α?＝， 525?4?5∴sin?

?3π－α?＝sin?π－?π＋α??＝sin?π＋α?＝3，

???4???4?5

?4???????

π??sin 2α＝－cos?2α＋?

2??

7?π??3?＝－1＋2sin?＋α?＝－1＋2×??＝－.]

25?4??5?

2

2

- 1 -