（2）连结OC、OE，延长BD交圆O于点M，连结CM，如图：
①∵C、E是关于BD的对称点， ∴OC＝OE， ∴点E在⊙O上， 故答案为：上；
②证明：∵C、E是关于BD的对称点， ∴
，∠2＝∠3，
∴∠4＝∠5＝∠M，
设∠1＝∠ABC＝x，则∠4＝∠5＝∠M＝180°﹣2x，∠6＝90°﹣x， ∴∠2＝∠3＝∠M+∠6＝270°﹣3x，
∴∠AEF＝∠EDC﹣∠EAD＝2∠3﹣2∠4＝2（270°﹣3x）﹣2（180°﹣2x）＝180°﹣2x， ∴∠AEF＝∠5＝180°﹣2x， 即∠AEF＝∠EAB； ③∵∠1＝∠ABC＞∠DBC， ∴BD＞DC，
∵△BDC为等腰三角形， ∴分两种情况讨论：
（Ⅰ）当BD＝BC时，∠1＝∠2，即x＝270°﹣3x， 解得：x＝67.5°，
∴∠4＝45°＜60°，满足题意，此时△AED为等腰直角三角形，AE＝AD＝2， ∴AE＝2；
（Ⅱ）当DC＝BC时，∠2＝∠DBC，即270°﹣3x＝180°﹣2x， 解得：x＝90°，
∴∠4＝0°，不满足0°＜∠BAC＜60°； 综上所述：AE＝2．
4．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，AD与BC相交于点E．连接BD，作∠BDF＝∠
BAD，DF与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若DF∥BC，求证：AD平分∠BAC；
（3）在（2）的条件下，若AB＝10，BD＝6，求CE的长．
解：（1）连接OD，CD，
∵AB是直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADO+∠ODB＝90°， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∵∠BDF＝∠BAD， ∴∠BDF+∠ODB＝90°， ∴∠ODF＝90°， ∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线； （2）∵DF∥BC， ∴∠FDB＝∠CBD， ∵
＝
，
∴∠CAD＝∠CBD，且∠BDF＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠BAD＝∠CBD＝∠BDF， ∴AD平分∠BAC； （3）∵AB＝10，BD＝6， ∴AD＝
＝
＝8，
∵∠CBD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDE＝90°， ∴△BDE∽△ADB， ∴∴
， ，
∴DE＝， ∴AE＝AD﹣DE＝， ∵∠CAD＝∠BAD， ∴sin∠CAD＝sin∠BAD ∴
∴
∴CE＝
5．如图1，在平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（﹣3，0），与y轴相交于B、C两点，且BC＝8，连接AB．
（1）求证：∠ABO1＝∠ABO；
（2）求AB的长；
（3）如图2，⊙O2经过A、B两点，与y轴的正半轴交于点M，与O1B的延长线交于点N，求出BM﹣BN的值．
（1）证明：如图1﹣1，连接AO1， ∵⊙O1与x轴相切于点A， ∴∠OAO1＝90°， 又∠AOB＝90°， ∴∠OAO1+∠AOB＝180°， ∴AO1∥OB， ∴∠ABO＝∠O1AB， ∵O1A＝O1B， ∴∠O1AB＝∠ABO1， ∴∠ABO1＝∠ABO；
（2）解：如图1﹣2，过点O1作O1H⊥BC于H， 则CH＝BH＝BC＝4，
∴∠O1HO＝∠HOA＝∠OAO1＝90°， ∴四边形AO1HO是矩形， ∴AO1＝AO＝3， ∴在Rt△O1HB中，
O1B＝
＝5，
∴HO＝O1A＝O1B＝5， ∴OB＝HO﹣BH＝1， ∴在Rt△AOB中，
AB＝
＝＝；
（3）解：如图2，作点B关于x轴的对称点B'，则点OB'＝OB＝1，AB＝AB'， ∴BB'＝2，∠AB'O＝∠ABO
∴由（1）知，∠ABO＝∠ABO1， ∴∠ABO1＝∠AB'O，
∴180°﹣∠ABO1＝180°﹣∠AB'O， 即∠ABN＝∠AB'M， 又∵
，
∴∠AMB'＝∠N，
∴△AMB'≌△ANB（AAS）， ∴MB'＝NB，
∴BM﹣BN＝BM﹣B'M＝BB'＝2， ∴BM﹣BN的值为2．
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