（1）证明：如图1，连接CO，CE， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°， ∴∠COA＝2∠B＝90°， ∵
，
∴∠CAD＝∠CED，
∴∠AED﹣∠CAD＝∠AED﹣∠CED＝∠AEC＝∠COA＝45°， 即∠AED﹣∠CAD＝45°；
（2）如图2，连接CO并延长，交⊙O于点N，连接AN，过点E作EM⊥AC于M， 则∠CAN＝90°， ∵AC＝BC，AO＝BO， ∴CN⊥AB， ∴AB垂直平分CN， ∴AN＝AC， ∴∠NAB＝∠CAB， ∵AB垂直平分DE， ∴AD＝AE， ∴∠DAB＝∠EAB，
∴∠NAB﹣∠EAB＝∠CAB﹣∠DAB， 即∠GAD＝∠NAE， ∵∠CAN＝∠CME＝90°， ∴AN∥EM， ∴∠NAE＝∠MEA， ∴∠GAD＝∠MEA，
又∵∠G＝∠AME＝90°，AD＝EA， ∴△ADG≌△EAM（AAS），
∴AG＝EM，AM＝DG，
又∵∠MEF+∠MFE＝90°，∠MFE+∠GAD＝90°， ∴∠MEF＝∠GAD， 又∵∠G＝∠FME＝90°， ∴△ADG≌△EFM（ASA）， ∴DG＝MF， ∵DG＝AM， ∴AF＝AM+MF＝2DG；
（3）∵∠CDF＝∠GAD，∠FCD＝∠DCA， ∴△FCD∽△DCA， ∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA， ∵AC＝BC，AB为直径， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠CFD＝∠CDA＝∠CBA＝45°， ∴△GFD为等腰直角三角形， 设GF＝GD＝a，则FD＝∴
＝
＝，
a，AF＝2a，
∵∠FAK＝∠DAG，∠AKF＝∠G＝90°， ∴△AFK∽△ADG， ∴
＝
＝，
在Rt△AFK中， 设FK＝x，则AK＝3x， ∵FK2+AK2＝AF2， ∴x2+（3x）2＝（2a）2， 解得，x＝∴FK＝
a（取正值）， a，
在Rt△FKD中，FK2+DK2＝FD2，
∴（
a）2+32＝（a）2，
解得，a＝∴GF＝GD＝
（取正值）， ，AF＝
，
∵△FCD∽△DCA， ∴
＝
，
∴CD2＝CA?FC， ∵CD2＝CG2+GD2， ∴CG2+GD2＝CA?FC， 设FC＝n， 则（解得，n＝∴AC＝AF+CF＝∴AB＝
﹣n）2+（
，
+， ．
＝
，
）2＝（
+n）n，
AC＝
⊙O的半径为
9．如图，在?ABCD中，AB＝4，BC＝8，∠ABC＝60°．点P是边BC上一动点，作△PAB的外接圆⊙O交BD于E．
（1）如图1，当PB＝3时，求PA的长以及⊙O的半径； （2）如图2，当∠APB＝2∠PBE时，求证：AE平分∠PAD；
（3）当AE与△ABD的某一条边垂直时，求所有满足条件的⊙O的半径．
解：（1）如图1，过点A作BP的垂线，垂足为H，作直径AM，连接MP， 在Rt△ABH中，∠ABH＝60°， ∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝2，AH＝AB?sin60°＝2∴HP＝BP﹣BH＝1， ∴在Rt△AHP中，
，
AP＝
∵AB是直径，
＝，
∴∠APM＝90°，
在Rt△AMP中，∠M＝∠ABP＝60°， ∴AM＝
＝
＝
，
∴⊙O的半径为即PA的长为
， ，⊙O的半径为
；
（2）当∠APB＝2∠PBE时， ∵∠PBE＝∠PAE， ∴∠APB＝2∠PAE，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠APB＝∠PAD， ∴∠PAD＝2∠PAE， ∴∠PAE＝∠DAE， ∴AE平分∠PAD；
（3）①如图3﹣1，当AE⊥BD时，∠AEB＝90°， ∴AB是⊙O的直径， ∴r＝AB＝2；
②如图3﹣2，当AE⊥AD时，连接OB，OE，延长AE交BC于F， ∵AD∥BC，
∴AF⊥BC，△BFE∽△DAE，
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